ここでは，2次曲線$\Gamma$の内部に２点間の距離を定義する．
定義
2次曲線$\Gamma$と実数である定数$k(\neq 0)$を与える．
$\Gamma$の内部の２点$A,B$に対して，直線$AB$と$\Gamma$の交点を$P,Q$とする．このとき， ２点$A,B$間の距離$d(A,B)$を
$d(A,B)=\dfrac{k}{2}|\log [A,B;P,Q]|$
で定義する．ここで$k$は測度定数である．
なお，$P,Q$は共に$AB$の外分点であるから
$[A,B;P,Q] > 0$
であり，$P$を$AB$の$B$への延長上に取るとすれば
$d(A,B)=\dfrac{k}{2}\log [A,B;P,Q]$
でよい．

この定義は，複比を用いているので，双曲運動群で保たれることが分かる．
さらに，
$1.d(A,A)=0,d(A,B)=d(B,A)$
$2. \ A,B,C$が一直線上にあるとき
$d(A,B)+d(B,C)=d(A,C)$
が成り立つ．
証明は角度の場合と同様である．
実際，
$[A,A;P,Q]=1,[A,B;P,Q]=\dfrac{1}{[B,A;P,Q]},[A,B;P,Q][B,C;P,Q]=[A,C;P,Q]$
より導かれる．

２次曲線$C$が$x^2+y^2-z^2=0$のとき，この曲線の内部の点$A(a_1,a_2,a_3),B(b_1,b_2,b_3)$間の距離$d(A,B)$ を求めよう．
直線$AB$上の点
$(a_1,a_2,a_3)+t(b_1,b_2,b_3)$
$=(a_1+tb_1,a_2+tb_2,a_3+tb_3)$
と曲線$x^2+y^2-z^2=0$との交点は
$(a_1+tb_1)^2+(a_2+tb_2)^2-(a_3+tb_3)^2=0$
を解けばよい．
整理すると
$(b_1^2+b_2^2-b_3^2)t^2+2(a_1b_1+a_2b_2-a_3b_3)t+(a_1^2+a_2^2-a_3^2)=0$
ここで
$a=a_1^2+a_2^2-a_3^2,b=b_1^2+b_2^2-b_3^2,c=a_1b_1+a_2b_2-a_3b_3$
とおくと
$bt^2+2ct+a=0\cdots (1)$
解は
$t=\dfrac{-c\pm \sqrt{c^2-ab}}{b}$
この解は，$A,B$が２次曲線$C$の内部より実数である．
すなわち
$c^2-ab > 0$
$(1)$の解を$\alpha ,\beta$とすると
$[A,B;P,Q]=\dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{-c-\sqrt{c^2-ab}}{-c+\sqrt{c^2-ab}}=\left(\dfrac{c+\sqrt{c^2-ab}}{\sqrt{ab}}\right)^2$
$d(A,B)=\dfrac{k}{2}\log[A,B;P,Q]$
$=k\log \left|\dfrac{c+\sqrt{c^2-ab}}{\sqrt{ab}}\right|$
$d(a,b)=d$とおく．
$\bullet \ c >0$のとき
$\left|\dfrac{c+\sqrt{c^2-ab}}{\sqrt{ab}}\right|=\dfrac{c+\sqrt{c^2-ab}}{\sqrt{ab}}=e^{\frac{d}{k}}$
逆数をとり
$\dfrac{c-\sqrt{c^2-ab}}{\sqrt{ab}}=e^{-\frac{d}{k}}$
したがって，
$\cosh \dfrac{d}{k}=\dfrac{1}{2}(e^{\frac{d}{k}}+e^{-\frac{d}{k}})=\dfrac{c}{\sqrt{ab}}$
$\sinh \dfrac{d}{k}=\dfrac{1}{2}(e^{\frac{d}{k}}-e^{-\frac{d}{k}})=\dfrac{\sqrt{c^2-ab}}{\sqrt{ab}}$
$\therefore \tanh \dfrac{d}{k}=\dfrac{\sqrt{c^2-ab}}{c}$
$\bullet \ c <0$のとき
$[A,B;Q,P]$を用いる．
$\left|\dfrac{c-\sqrt{c^2-ab}}{\sqrt{ab}}\right|=\dfrac{-c+\sqrt{c^2-ab}}{\sqrt{ab}}=e^{\frac{d}{k}}$
逆数をとり
$\dfrac{-c-\sqrt{c^2-ab}}{\sqrt{ab}}=e^{-\frac{d}{k}}$
したがって，
$\cosh \dfrac{d}{k}=\dfrac{1}{2}(e^{\frac{d}{k}}+e^{-\frac{d}{k}})=\dfrac{-c}{\sqrt{ab}}$
$\sinh \dfrac{d}{k}=\dfrac{1}{2}(e^{\frac{d}{k}}-e^{-\frac{d}{k}})=\dfrac{\sqrt{c^2-ab}}{\sqrt{ab}}$
$\therefore \tanh \dfrac{d}{k}=\dfrac{\sqrt{c^2-ab}}{-c}$
まとめると次のようになる．
命題
２次曲線$x^2+y^2-z^2=0$の内部の２点$A(a_1,a_2,a_3),B(b_1,b_2,b_3)$の測度係数$\frac{k}{2i}$の距離$d$は
$d=k\log \left(\dfrac{|c|+\sqrt{c^2-ab}}{\sqrt{ab}}\right)$
あり，さらに
$\tanh \dfrac{d}{k}=\dfrac{\sqrt{c^2-ab}}{|c|},\cosh \dfrac{d}{k}=\dfrac{|c|}{\sqrt{ab}},\sinh \dfrac{d}{k}=\dfrac{\sqrt{c^2-ab}}{\sqrt{ab}}$
を満たす．ただし
$a=a_1^2+a_2^2-a_3^2,b=b_1^2+b_2^2-b_3^2,c=a_1b_1+a_2b_2-a_3b_3$
である．

命題より，$A,B$いずれかの点を絶対形$x^2+y^2-z^2=0$に近づけていけば$AB$の大きさはどんどん大きくなり無限大に近づくことが分かる．すなわち，絶対形上の点は無限遠点である．
これは，線分はどちら側にも限りなく伸ばすことができることを意味する(ユークリッド原論第２公理)．


13.平行角


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