双曲運動群で保たれる性質を調べる幾何を双曲幾何という．
２次曲線$x^2+y^2-z^2=0$の内部に２直線のなす角及び２点間の距離を定義する．
これらの定義は，双曲運動群で保たれなければいけないし， 角や距離の基本的性質を満たす必要がある．
角の定義から入る．
ユークリッド平面における２直線の角の定義を振り返ろう．
２直線$a,b$のなす角は,$a,b$の交点と無限遠直線上の虚円点$I(1,i,0),J(1,-i,0)$を結ぶ 直線をそれぞれ$i,j$として
$\angle (a,b)=-\dfrac{1}{2i}\log [a,b;i,j]\left(=-\dfrac{1}{2i}\log [i,j;a,b]\right)$
で定義された．
この定義は次のようにみることができる．
$I$または$J$を通る直線$(L_1,L_2,L_3)$は
$L_1^2+L_2^2=0\cdots (\sharp)$
$(\because) I(1,i,0)$を通る直線$(L_1,L_2,L_3)$は$L_1\times 1+L_2i=0,J(1,-i,0)$を通る直線 $(L_1,L_2,L_3)$は$L_1\times 1-L_2i=0$
であるから，$(\sharp)$は$\{I,J\}$の線座標表示である．
すなわち，$I,J$を通る直線$i,j$は
$i,j\in \{L_1^2+L_2^2=0\}$
である．
ユークリッド平面での$P$で交わる２直線$a,b$のなす角を定義を
２直線$PI,PJ$を$\{I,J\}$の線座標表示$L_1^2+L_2^2=0$の中の$P$を通る２直線$i,j$と見て，
$\angle (a,b)=-\dfrac{1}{2i}\log [a,b;i,j]$
とする．

ユークリッド平面での方法を踏襲して双曲幾何における角度を定義する

２次曲線の点座標方程式が
$x^2+y^2-z^2=0\cdots (1)$
のとき線座標方程式は
$L_1^2+L_2^2-L_3^2=0$
である．なお，線座標方程式は直線
$L_1x+L_2y+L_3z=0$が２次曲線$(1)$ に接するときの$L_1,L_2,L_3$の満たす条件．

点$P$を通る２直線$a,b$のなす角$\angle (a,b)$を，$P$を通る２次曲線$(1)$の接線$l,m$(虚の直線) を用いて($L_1^2+L_2^2-L_3^2=0$の中で$P$を通るものが$l,m$ということ)，
$\angle (a,b)=k\log [a,b;l,m]\cdots (\sharp)$
と定義する．ここで$k$は定数で測度定数である．後で示すが$k=\frac{1}{2i}$である．
なお，２直線のなす角はユークリッド幾何と同じように，鋭角で定義する．
$\angle (a,b)$を$a,b$の成分を用いて表すことはあとで行うとして， 定義$(\sharp)$の妥当性を確認しよう．
この角の大きさが双曲運動群で保たれることは，複比で定義されているので問題ない．ちなみに射影写像は 共線条件および複比を保つ変換として定義された．
角度の基本的性質を満たすかどうかすなわち
$1.\angle (a,a)=0$
$2.\angle (a,b)=-\angle (b,a)$
$3.\angle (a,b)+\angle (b,c)=\angle (a,c)$
を調べよう．
先ず$1$は
$[a,a,l,m]=1$より成り立つ．
$2$は
$[a,b;l,m]=\dfrac{1}{[b,a;l,m]}$
より成り立つ．
$3$は複比の単純な計算である．
ここで複比の定義を確認しておこう．
$c=\alpha a +\beta b,d=\gamma a+\delta b$のとき
$[a,b;c,d]=\dfrac{\beta}{\alpha}\cdot \dfrac{\gamma}{\delta }$
が定義である．
したがって，非斉次座標を用いて
$c=a+\alpha b,d=a+\beta b$のとき
$[a,b;c,d]=\dfrac{\alpha}{\beta}$
である．
$3$の証明は次のようになる．
$[a,b;l,m]=[l,m;a,b]$
である．
$a=l+\alpha m,b=l+\beta m,c=l+\gamma m$
とおけば，
$[l,m;a,b][l,m;b,c]=\dfrac{\alpha}{\beta}\cdot \dfrac{\beta}{\gamma}=\dfrac{\alpha}{\gamma}=[l,m;a,c]$
実際のなす角の定義は負の角を用いていないので，
2は$\angle (a,b)=\angle (b,a)$となり
3.は.$\angle (a,b),\angle (b,c)$の定義のとき，$l,m$の選び方が変わらないときという条件が加わる

２次曲線$\Gamma :x^2+y^2-z^2=0$の内部の点$P$を通る２直線$a=(A_1,A_2,A_3),b=(B_1,B_2,B_3)$のなす角$\angle (a,b)$ を$a,b$の成分で表す．
点$P$を通る2次曲線$\Gamma$の接線$l,m$を求めよう．
点$P$の線束は
$a+tb=(A_1+tB_1,A_2+tB_2,A_3+tB_3)$
であり，この式を$\Gamma$の線座標方程式
$L_1^2+L_2^2-L_3^2=0$
に代入し
$(A_1+tB_1)^2+(A_2+tB_2)^2-(A_3+tB_3)^2=0$
ここで
$A=a\cdot a=A_1^2+A_2^2-A_3^2,B=b\cdot b=B_1^2+B_2^2-B_3^2,C=a\cdot b=A_1B_1+A_2B_2-A_3B_3$
とおくと
$Bt^2+2Ct+A=0$
この方程式の解を$\alpha ,\beta$とすると
$[a,b;l,m]=\dfrac{\alpha}{\beta}$である．
ここで$|\frac{\alpha}{\beta}|=1$が成り立つ．
解は虚数解であることに注意して
$t=\dfrac{-C\pm \sqrt{C^2-AB}}{B}=\dfrac{-C\pm \sqrt{AB-C^2}i}{B}$
解の商を計算すると
$\dfrac{-C-\sqrt{AB-C^2}i}{-C+\sqrt{AB-C^2}i}$
$=\dfrac{(C+\sqrt{AB-C^2}i)^2}{AB}$
$=\left(\dfrac{C+\sqrt{AB-C^2}i}{\sqrt{AB}}\right)^2$
したがって，
$[a,b;l,m]=\left(\dfrac{C+\sqrt{AB-C^2}i}{\sqrt{AB}}\right)^2\cdots (2)$
測度係数を$k=\frac{1}{2i}$とし．
$\angle (a,b)=\dfrac{1}{2i}\log [a,b;l,m]$
と定義する．
$\angle (a,b)=\theta \Longleftrightarrow [a,b;l,m]=e^{2i\theta}=(\cos \theta +i\sin \theta )^2 \cdots (3)$
$\bullet \ C >0$のとき
$(2),(3)$より
$\cos \theta =\dfrac{C}{\sqrt{AB}},\sin \theta =\dfrac{\sqrt{AB-C^2}}{\sqrt{AB}}$
$\bullet \ C <0$のとき
$[a,b;m,l]$を用いる．
$[a,b;m,l]=\left(\dfrac{C-\sqrt{AB-C^2}i}{\sqrt{AB}}\right)^2$
より
$\dfrac{-C+\sqrt{AB-C^2}i}{\sqrt{AB}}=e^{i\theta}=\cos \theta +i\cos \theta$
したがって
$\cos \theta =\dfrac{-C}{\sqrt{AB}},\sin \theta =\dfrac{\sqrt{AB-C^2}}{\sqrt{AB}}$
となる．
まとめると次のようになる．
命題
２次曲線$x^2+y^2-z^2=0$の内部の２直線$a=(A_1,A_2,A_3),b=(B_1,B_2,B_3)$の測度係数$k=\frac{1}{2i}$のとき，鋭角のなす角$\theta$は
$\cos \theta =\dfrac{|C|}{\sqrt{AB}},\sin \theta =\dfrac{\sqrt{AB-C^2}}{\sqrt{AB}}$
を満たす．ただし，
$A=a\cdot a=A_1^2+A_2^2-A_3^2,B=b\cdot b=B_1^2+B_2^2-B_3^2,C=a\cdot b=A_1B_1+A_2B_2-A_3B_3$
である．

２直線$a,b$のなす角は
$\cos \theta =\dfrac{C}{\sqrt{AB}}=\dfrac{a\cdot b}{\sqrt{a\cdot a}\sqrt{b\cdot b}}$
内積の公式と同じで覚えやすいとおもう．
なお，２直線$a=(A_1,A_2,A_3),b=(B_1,B_2,B_3)$が垂直(なす角が$\pi/2$)となるのは
$a\cdot b=A_1B_1+A_2B_2-A_3B_3=0$
すなわち
$\begin{pmatrix}A_1&A_2&A_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}B_1\\B_2\\B_3\end{pmatrix}=0$
が成り立つことで，これは2直線$a,b$が共役であることを意味している．
したがって，次の命題が成り立つ．
命題
実２次曲線を絶対形とする双曲幾何で次が成り立つ．
絶対形内の２直線が直交する
$\Longleftrightarrow$
絶対形の定める相反対合変換で２直線は共役である．


12.双曲幾何の距離


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