実２次曲線（双曲型相反対合変換より定まる２次曲線）を絶対形とする双曲幾何を扱う．
実2次曲線は
$x^2+y^2-z^2=0$
としてよい．実際，極三角形の３頂点を座標系の基本点とすると実２次式は
$k_1x^2+k_2y^2+k_3z^2=0$
となる，必要があれば頂点を変えて
$k_1,k_2 > 0,k_3 < 0$
としてよい．さらに
$kx'=\sqrt{k_1}x,ky'=\sqrt{k_2}y,kz'=\sqrt{k_3}z$
と座標変換すれば(単位点の変更)
$x'^2+y'^2-z'^2=0$
となる．

次に，2次曲線
$x^2+y^2-z^2=0 \ \cdots (\sharp)$
を保つ射影変換を求めよう．
射影変換を
$k\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$
おく．
$(x,y,z)$の像
$k(a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z,a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z,a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z)$
が$x^2+y^2-z^2=0$上にあるとき
$(a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z)^2+(a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z)^2 -(a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z)^2=0$
整理すると
$(a_{11}^2+a_{21}^2-a_{31}^2)x^2+(a_{12}^2+a_{22}^2-a_{32}^2)y^2 +(a_{13}^2+a_{23}^2-a_{33}^2)z^2$
$+(a_{11}a_{12}+a_{21}a_{22}-a_{31}a_{32})xy +(a_{12}a_{13}+a_{22}a_{23}-a_{32}a_{33})yz$
$+(a_{13}a_{11}+a_{23}a_{21}-a_{33}a_{31})zx=0$
この式が$x^2+y^2-z^2=0$より
$\begin{cases}a_{11}^2+a_{21}^2-a_{31}^2=1\\a_{12}^2+a_{22}^2-a_{32}^2=1\\ a_{13}^2+a_{23}^2-a_{33}^2=-1\\ a_{11}a_{12}+a_{21}a_{22}-a_{31}a_{32}=0\\ a_{12}a_{13}+a_{22}a_{23}-a_{32}a_{33}=0\\ a_{13}a_{11}+a_{23}a_{21}-a_{33}a_{31}=0\end{cases}\cdots (\natural)$
を得る．
２次曲線$x^2+y^2-z^2=0$を保つ射影群の部分群を双曲運動群という．
双曲運動群$(\natural)$は順序のついた３実数$(x,y,z)$において，２つのベクトル
$a=(a_1,a_2,a_3),b=(b_1,b_2,b_3)$
の内積$a\cdot b$を
$a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2-a_3b_3$
で定義した空間の直交行列とみると考えやすい．

考える対象は２次曲線$x^2+y^2-z^2=0$の内側すなわち
$x^2+y^2 -z^2 < 0　\ \cdots (\sharp)$
とするのであるが，射影平面には2次曲線の内外の概念はない．$(\sharp)$の条件を 明確にさせる必要がある．
定義
２次曲線の接線が引けない領域を２次曲線の内部という．

２次曲線$x^2+y^2-z^2=0$の内部を式で表そう．
$x^2+y^2-z^2=\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$
であり，
$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$
であるから，$x^2+y^2-z^2=0$の接線$(L_1,L_2,L_3)$は
$L_1^2+L_2^2-L_3^2=0　\ \cdots (\flat)$
である．ちなみに，$(\flat)$は２次曲線$x^2+y^2-z^2=0$を表す方程式の一つで， 接線のすべてで2次曲線の包絡線のすべてを表している．
２次曲線を表す方法で$x^2+y^2-z^2=0$を点座標方程式，$L_1^2+L_2^2-L_3^2=0$を線座標方程式と呼ぶ．
円の内部は接線が通らない領域であるから，
$P(x,y,z)$を中心とする線束
$L_1x+L_2y+L_3z=0$
すなわち$(L_1,L_2,L_3)$で$L_1^2+L_2^2-L_3^2=0$を満たすものがない $(x,y,z)$の条件すなわち
$\begin{cases} L_1x+L_2y+L_3z=0\\ L_1^2+L_2^2-L_3^2=0\end{cases} $
を満たす$(L_1,L_2,L_3)$が存在しない$x,y,z$の条件を求めればよい． $L_3$を消去すると
$L_1^2z^2+L_2^2z^2-(L_1x+L_2y)^2=0$
整理して，
$(z^2-x^2)L_1^2-2xyL_1L_2+(z^2-y^2)L_2^2=0$
判別式$D < 0$より
$x^2+y^2 < z^2$
を得る．

射影変換が$(\natural)$を満たすとき
$(x,y,z)\mapsto (x',y',z')$
$x^2+y^2-z^2=x'^2+y'^2-z^2$
を満たすから，２次曲線の内部$x^2+y^2-z^2 < 0$は２次曲線の内部$x^2+y^2-z^2 < 0$ にうつす．


11.双曲幾何の角度


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