ここまで，射影平面の幾何学の部分幾何としてアフィン幾何，ユークリッド幾何を定義しました．
その内容を振り返りましょう．
射影平面上に直線$l_{\infty}$を１本定め，この直線$l_{\infty}$を保つ射影変換全体，すなわち $l_{\infty}$の像が$l_{\infty}$である射影変換全体を$G_1$とする．この群をアフィン変換群と呼ぶ．射影平面上で$G_1$で保たれる性質を調べる幾何学がアフィン幾何でした．
つぎに，無限遠直線$l_{\infty}$上に虚円点$\{I,J\}$を定め，$\{I,J\}$ を保つ射影変換全体を$G_2$とする．この群を相似変換群と呼ぶ．$G_2$は$G_1$の部分群である．射影平面上で$G_2$で保たれる性質を調べるのが相似幾何(この呼び方があるかどうかわかりません)で その部分幾何がユークリッド幾何でした．

射影平面$P^2(\mathbb{R})$の部分集合$S$をさだめ，$S$を保つ射影変換全体を$G_0$とすれば一つの部分幾何が定義できます． $S$をこの部分幾何の絶対形という．$P^2(\mathbb{R})$に絶対形$S$を決めれば部分幾何が決まるといってもよい．
アフィン幾何では絶対形は無限遠直線$l_{\infty}$であり，相似幾何の絶対形は$\{I,J\}$です．
これから，射影平面に２次曲線を一つ定め，その図形を絶対形とする部分幾何を考えます．
２次曲線を定義する相反対合変換は
自己共役点があるとき，双曲型という．このとき，実の２次曲線で曲線の標準系は
$x^2+y^2-z^2=0$
自己共役点がないとき，楕円型という．このとき，虚の２次曲線で曲線の標準系は
$x^2+y^2+z^2=0$
である．
実の２次曲線を絶対形とするとき，その幾何を双曲幾何といい，虚の２次曲線を絶対形とするとき，その幾何を楕円幾何という．
なお，相似幾何は絶対形が２点$\{I,J\}$である．
$I(1,i,0),J(1,-i,0)$で，$I$を通る直線$L_1x+L_2y+L_3z=0$としたときの$(L_1,L_2,L_3)$は
$L_1+L_2i=0$
同様に$J$を通る直線$(L_1,L_2,L_3)$は
$L_1-L_2i=0$
したがって，$I,J$を通る直線の全体は
$(L_1+L_2i)(L_1-L_2i)=0$
$\therefore L_1^2+L_2^2=0$
これは2次曲線の線座標方程式(軌跡上の点全体をあらわす方程式が点座標方程式で，軌跡の接線全体をあらわす方程式が線座標方程式)で， ２次曲線を定める行列が退化する場合である．この場合を放物型といい，すでに述べた相似幾何を放物幾何ということも多い．

これから双曲幾何，楕円幾何を扱います．射影平面の部分幾何はいろいろ作れそうですが，作った幾何学で角や長さを定義しようとすると， 絶対形は２次曲線，直線，点に限定されます．
これから，まず双曲幾何で角度，長さを定義し，非ユークリッドのクラインモデルの解説をします．その後楕円幾何を説明します．


10.双曲幾何

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