ユークリッド平面上に角度を定義します．
すでに直角は定義しているのでそれを確認しましょう．

２直線が直交するとは，少し書き換えていますが次のことです．
２直線$a,b$と無限遠直線$l_{\infty}$との交点を$A,B$とする．$A,B$が与えられている$l_{\infty}$ 上の対合変換$f$の対応点$(f(A)=B)$のとき直交すると定める．
この対合変換$f$の不動点(虚円点)を$I,J$とするとき
$A,B$が$f$の対応点$\Longleftrightarrow \ [I,J;A,B]=-1$
$(\because [f(I),f(J);f(A),f(B)]$
$=[I,J;B,A]=\dfrac{1}{[I,J;A,B]})$
が成り立つので，次のように書くことができる．
$a\perp b\Longleftrightarrow [I,J;A,B]=-1$

2直線$a,b$の交点を$P$とし，2直線$a,b$のなす角を定義する．
直線$a,b$と無限遠直線$l_{\infty}$との交点をそれぞれ$A,B$とし，複比
$[PI,PJ;PA,PB]=[I,J;A,B]\cdots (\sharp)$
の値を利用する．
$(\sharp)$の値を求める．
直線$y=mx+n$と無限遠直線$l_{\infty}$との交点は$(1,m,0)$である．
実際
$(m,-1,n)\times (0,0,1)=(1,m,0)$
２直線$a,b$をそれぞれ
$y=(\tan \alpha)x+k_1,y=(\tan \beta)x+k_2$
とする．
$a$から$b$に向かってはかった角$\theta$は
$\theta =\beta -\alpha$
である．
$[PI,PJ;PA,PB]=[I,J;A,B]=[(1,i,0),(1,-i,0);(1,\tan \alpha,0),(1,\tan \beta ,0)]$
$=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1\\i&\tan \alpha \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1\\-i&\tan \alpha \end{vmatrix}}\cdot\dfrac{\begin{vmatrix}1&1\\-i&\tan \beta \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1\\i&\tan \beta \end{vmatrix}}$
$=\dfrac{\tan \alpha -i}{\tan \alpha +i}\cdot \dfrac{\tan \beta +i}{\tan \beta -i}$
$=\dfrac{(\sin \alpha -i\cos \alpha)(\sin \beta +i\cos \beta)}{(\sin \alpha +i\cos \alpha)(\sin \beta -i\cos \beta)}$
$=\cos 2(\alpha -\beta)+i\sin 2(\alpha -\beta)$
$=e^{2(\alpha -\beta)i}$
２直線$a,b$のなす角は$\theta =\beta -\alpha$であり
$\theta =-\dfrac{1}{2i}\log [PI,PJ;PA,PB]$
$\log$を用いないで
$\theta =-\dfrac{\arg [PI,PJ;PA,PB]}{2}$
でもよい．
この関係式を利用して，次のように射影的角度の定義をする．
定義
$I,J$を虚円点とする．２直線$a,b$に対して，$a,b$と無限遠直線との交点をそれぞれ$A,B$とする.
このとき，2直線$a,b$のなす角$\angle (a,b)$を
$\angle (a,b)=-\dfrac{1}{2i}\log [I,J;A,B]$
と定義する．

$\angle (a,b)=\theta$とすると
$[PI,PJ;a,b]=e^{-2i\theta}=\cos (-2\theta)+i\sin (-2\theta)$
である．
$[PI,PJ;a,b]=-1=\cos \pi +i\sin \pi$
のとき
$\theta =-\dfrac{\pi}{2}(=\dfrac{\pi}{2})$

例
２直線$y=mx,y=nx$が直交するための条件を求める．
$y=mx,y=nx$と無限遠直線との交点は$(1,m,0),(1,n,0)$.
2直線$y=mx,y=nx$をそれぞれ$a,b$とすると
$[(1,i,0),(1,-i,0);(1,m,0),(1,n,0)]=\dfrac{m-i}{m+i}\cdot \dfrac{n+i}{n-i}$
一方
(左辺)$=-1$より $mn=-1$

例
円周角の定理を証明する．
この証明では, ２次曲線の射影的性質
命題 ２次曲線上の6点$P,Q,A,B,C,D$について
${PA,PB,PC,PD}\barwedge {QA,QB,QC,QD}$
すなわち
$[PA,PB;PC,PD]=[QA,QB;QC,QD]$
がなりたつ．
を用いる．
円は無限遠直線とは交わらないが，虚円点$I,J$を通る楕円が円であるから， 架空の無限遠直線を円に交わるように書いて考える．
右図で
$[PI,PJ;PA,PB]=[QI,QJ;QA;QB]$
が成り立つから
$\angle (PA,PB)=\angle (QA,QB)$
が成り立つ．


9.絶対形

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