射影平面に無限遠直線を定めたのが拡大アフィン平面です．
射影平面上の，無限遠直線$l_{\infty}$上の２点$A(a_{\infty}),B(b_{\infty})$および普通点$C(c),E(e)$より定まる， 射影座標系$\sigma =[a_{\infty},b_{\infty},c;e]$で考える．この座標系が射影平面の斉次アフィン座標系であった．
ここでは，斉次アフィン座標系で２次曲線を扱う．
斉次アフィン座標系$\sigma =[A(a_{\infty}),B(b_{\infty}),C(c);E(e)]$のもとで，
２次曲線$\Gamma$を
$\Gamma : \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&p&q\\p&b&r\\q&r&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0, \left(\begin{vmatrix}a&p&q\\p&b&r\\q&r&c\end{vmatrix}\neq 0\right)$
とする．
ここで２次曲線は,相反対合変換$f$
$f:\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}L_1&L_2&L_3\end{pmatrix}$
が
$k\begin{pmatrix}L_1\\L_2\\L_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&p&q\\p&b&r\\q&r&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$
で定義されるときの，$f$の自己共役点全体の集合として２次曲線が定義された．
すなわち，２次曲線を定義するということは，相反対合変換を定義すること，すなわち逆行列をもつ３次対称行列を定義することであるし，逆に相反対合変換を定義すれば２次 曲線が１つ決まる．

まず，２次曲線$\Gamma$と無限遠直線
$l_{\infty}:z=0$
の交点の個数を求めよう．
$\Gamma$の式に$z=0$を代入し
$\begin{pmatrix}x&y&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&p&q\\p&b&r\\q&r&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}=0$
より
$\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&p\\p&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=0,z=0$
である．ここで
$D=\begin{vmatrix}a&p\\p&b\end{vmatrix}=ab-p^2$
とおくと
$\bullet \ D < 0$のとき交点の個数は2個．このとき２次曲線$\Gamma$を双曲線という．
$\bullet \ D = 0$のとき交点の個数は1個．このとき２次曲線$\Gamma$を放物線という．
$\bullet \ D > 0$のとき交点の個数は0個．このとき２次曲線$\Gamma$を楕円という．

次に，２次曲線の中心を定義する．
定義
２次曲線の定める相反対合変換による無限遠直線の像が２次曲線の中心である．

２次曲線$\Gamma$の中心の座標を求めよう．
中心の斉次座標を$(x_0,y_0,z_0)$とする．$(x_0,y_0,z_0)$の像が無限遠直線$z=0$,これを線座標で表すと$(0,0,1)$であるから
$\begin{pmatrix}a&p&q\\p&b&r\\q&r&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_0\\y_0\\z_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\*\end{pmatrix}$
したがって，
$ax_0+py_0+qz_0=0,px_0+by_0+rz_0=0$
$\begin{pmatrix}x_0\\y_0\\z_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\p\\q\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}p\\b\\r\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\begin{vmatrix}p&b\\q&r\end{vmatrix}\\\begin{vmatrix}q&r\\a&p\end{vmatrix}\\\begin{vmatrix}a&p\\p&b\end{vmatrix}\end{pmatrix}$
である．
中心の$z$成分が
$D=\begin{vmatrix}a&p\\p&b\end{vmatrix}$
であるから，$D \neq 0$すなわち楕円または双曲線のとき，中心は普通点であり， $D=0$すなわち放物線のとき中心は無限遠点である．
通常普通点のときのみ中心といい，楕円，双曲線を有心２次曲線といい， 放物線を無心２次曲線という．

次に２次曲線の直径を定義する．
定義
２次曲線の定める相反対合変換による無限遠点の像を２次曲線の直径という．

直径の定義から，直径は２次曲線の中心を通ることが分かる．
有心２次曲線では次の性質が成り立つ．

命題
有心２次曲線$\Gamma$と直径との交点を$A,B$とすると，$\Gamma$の中心$O$は線分$AB$の中点である．
証明
直径と２次曲線の交点を$A,B$,無限遠直線との交点を$D$とする．
$[A,B;O]=[A,B;O,D]$
であり，一方２点$O,D$は２次曲線$\Gamma$の定める相反対合変換の共役点である．
したがって
$[A,B;O,D]=-1$
$\therefore [A,B;O]=-1$
したがって，$O$は$AB$の中点である．

次に２次曲線の共役直径の定義をする．
定義
有心２次曲線の２本の直径で，一方の直線の極点がもう一方の直線上にあるとき，この２本の直径を 共役直径という．

共役直径では次の性質が成り立つ．

命題
２直線$m,n$は有心２次曲線の共役な直径とする．$m$と平行な直線と2次曲線との交点を $A,B$,$n$との交点を$C$とすると，$C$は$AB$の中点である．
この命題は，有心２次曲線の直径を与えれば，その直線に平行な直線で 定まる２次曲線の弦の中点の軌跡が共役直径であることを意味し，これはユークリッド幾何における，共役直径の定義である．
証明
直線$m,n$と無限遠直線との交点のそれぞれ$D,E$とする．
点$C$は点$D$の極線$n$上にあるから，2点$C,D$は共役である．したがって
$[A,B;C]=[A,B;C,D]=-1$
より$C$は$AB$の中点である．


6.正規直交座標系

射影幾何の目次

全体の目次