射影平面に無限遠直線を定めたのが拡大アフィン平面です．
射影平面上の，無限遠直線$l_{\infty}$上の２点$A(a_{\infty}),B(b_{\infty})$および普通点$C(c),E(e)$より定まる， 射影座標系$\sigma =[a_{\infty},b_{\infty},c;e]$で考える．この座標系が射影平面の斉次アフィン座標系であった．
ここでは，斉次アフィン座標系で２次曲線を扱う．
斉次アフィン座標系$\sigma =[A(a_{\infty}),B(b_{\infty}),C(c);E(e)]$のもとで，
２次曲線$\Gamma$を
$\Gamma : \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&p&q\\p&b&r\\q&r&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0, \left(\begin{vmatrix}a&p&q\\p&b&r\\q&r&c\end{vmatrix}\neq 0\right)$
とする．
ここで２次曲線は,相反対合変換$f$
$f:\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}L_1&L_2&L_3\end{pmatrix}$
が
$k\begin{pmatrix}L_1\\L_2\\L_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&p&q\\p&b&r\\q&r&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$
で定義されるときの，$f$の自己共役点全体の集合として２次曲線が定義された．
すなわち，２次曲線を定義するということは，相反対合変換を定義すること，すなわち逆行列をもつ３次対称行列を定義することであるし，逆に相反対合変換を定義すれば２次 曲線が１つ決まる．

まず，２次曲線$\Gamma$と無限遠直線
$l_{\infty}:z=0$
の交点の個数を求めよう．
$\Gamma$の式に$z=0$を代入し
$\begin{pmatrix}x&y&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&p&q\\p&b&r\\q&r&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}=0$
より
$\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&p\\p&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=0,z=0\cdots (\sharp)$
である．
$(\sharp)$は
$ax^2+2pxy+by^2=0,z=0$
ここで
$D=\begin{vmatrix}a&p\\p&b\end{vmatrix}=ab-p^2=-(p^2-ab)$
とおくと
$\bullet \ D < 0$のとき交点の個数は2個．このとき２次曲線$\Gamma$を双曲線という．
$\bullet \ D = 0$のとき交点の個数は1個．このとき２次曲線$\Gamma$を放物線という．
$\bullet \ D > 0$のとき交点の個数は0個．このとき２次曲線$\Gamma$を楕円という．

次に，２次曲線の中心を定義する．
定義
２次曲線の定める相反対合変換による無限遠直線の像(極点)が２次曲線の中心である．

２次曲線$\Gamma$の中心の座標を求めよう．
中心の斉次座標を$(x_0,y_0,z_0)$とする．$(x_0,y_0,z_0)$の像が無限遠直線$z=0$,これを線座標で表すと$(0,0,1)$であるから
$\begin{pmatrix}a&p&q\\p&b&r\\q&r&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_0\\y_0\\z_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\*\end{pmatrix}$
したがって，
$ax_0+py_0+qz_0=0,px_0+by_0+rz_0=0$
$\begin{pmatrix}x_0\\y_0\\z_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\p\\q\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}p\\b\\r\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\begin{vmatrix}p&b\\q&r\end{vmatrix}\\\begin{vmatrix}q&r\\a&p\end{vmatrix}\\\begin{vmatrix}a&p\\p&b\end{vmatrix}\end{pmatrix}$
である．
中心の$z$成分が
$D=\begin{vmatrix}a&p\\p&b\end{vmatrix}$
であるから，$D \neq 0$すなわち楕円または双曲線のとき，中心は普通点であり， $D=0$すなわち放物線のとき中心は無限遠点である．
通常普通点のときのみ中心といい，楕円，双曲線を有心２次曲線といい， 放物線を無心２次曲線という．

次に２次曲線の直径を定義する．
定義
２次曲線の定める相反対合変換による無限遠点の像(極線)を２次曲線の直径という．

直径の定義から，直径は２次曲線の中心を通ることが分かる．

命題1
$\Gamma$を2次曲線とする．
直線$l$が$\Gamma$と交わる点を$P(p),Q(q)$，$l$上の2点を$X(x),Y(y)$とする．このとき
$X,Y$が共役($Y$が$X$の曲線上)$\Leftrightarrow \ P,Q;X,Y$が調和点列をなす$([P,Q;X,Y]=-1)$
が成り立つ．
証明
2次曲線$\Gamma$の定める相反対合変換の行列を$A$とする．
$x=\alpha p+\beta q,y=\gamma p+\delta q$とおく．
$x,y$が共役であるとき
$x^tAy=(\alpha p+\beta q)^tA(\gamma p+\delta q)$
$=(\alpha \delta+\beta \gamma )p^tAq$
$\because p^tAp=0,q^tAq=0$
また
$[P,Q;X,Y]=\dfrac{\beta \gamma}{\alpha \delta}$
したがって
$X,Y$が共役$\Leftrightarrow \alpha \delta+\beta \gamma =0$
$\Leftrightarrow [P,Q;X,Y]=-1 \ \blacksquare$

有心２次曲線では次の性質が成り立つ．

命題2
有心２次曲線$\Gamma$と直径との交点を$A,B$とすると，$\Gamma$の中心$O$は線分$AB$の中点である．
証明
直径と２次曲線の交点を$A,B$,無限遠直線との交点を$D$とする．
$[A,B;O]=[A,B;O,D]$
であり，一方２点$O,D$は２次曲線$\Gamma$の定める相反対合変換の共役点である．
したがって
$[A,B;O,D]=-1$
$\therefore [A,B;O]=-1$
したがって，$O$は$AB$の中点である．$\blacksquare$

次に２次曲線の共役直径の定義をする．
定義
有心２次曲線の２本の直径で，一方の直径の極点がもう一方の直径上にあるとき，この２本の直径を 共役直径という．

共役直径では次の性質が成り立つ．

命題3
２直線$m,n$は有心２次曲線の共役な直径とする．$m$と平行な直線と2次曲線との交点を $A,B$,$n$との交点を$C$とすると，$C$は$AB$の中点である．
この命題は，有心２次曲線の直径を与えれば，その直線に平行な直線で 定まる２次曲線の弦の中点の軌跡が共役直径であることを意味し，これはユークリッド幾何における，共役直径の定義である．
証明
直線$m,n$と無限遠直線との交点のそれぞれ$D,E$とする．
点$C$は点$D$の極線$n$上にあるから，2点$C,D$は共役である．したがって
$[A,B;C]=[A,B;C,D]=-1$
より$C$は$AB$の中点である．$\blacksquare$

例
2次曲線
$x^2+y^2+z^2-2xz-4yz=0\cdots (\sharp)$
を考える．
この2次曲線は
$\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&-2\\-1&-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0$
である．
$A=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&-2\\-1&-2&1\end{pmatrix}$
とおく．
$A$の余因子行列を$B$とおくと
$B=\begin{pmatrix}-3&2&1\\2&0&2\\1&2&1\end{pmatrix}$
である．
この2次曲線を非斉次座標で表すと
$x^2+y^2+1-2x-4y=0$
であるから，中心の座標は$(1,2)$.斉次座標だと$(1,2,1)$である．
無限遠直線は$z=0$であるから，その斉次座標は$(0,0,1)$
$(0,0,1)$の極点は
$B\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$
したがって，$(\sharp)$の中心は$(1,2,1)$である．
直接
$\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&-2\\-1&-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\*\end{pmatrix}$
より
$\begin{cases}x-z=0\\y-2z=0\end{cases}$
として解いてもよい．
点$(3,1,1)$を通る直径を求める．
$(x-z)+k(y-2z)=0$
に$(3,1,1)$を代入し$k=2$
$x+y-4z=0\cdots (\flat)$
$(\flat)$と共役な直径を求める． $(\flat)$と無限遠直線$z=0$との交点は$(1,-1,0)$
$(1,-1,0)$の極線は
$A\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$
したがって，$(\flat)$と共役な直径は$x-y+z=0$である．

6.正規直交座標系

射影幾何の目次

全体の目次