射影平面に無限遠直線を定めたのが拡大アフィン平面です．ここでは，斉次アフィン座標系による非斉次座標が通常のアフィン座標であることを示す．
射影平面上の，無限遠直線$l_{\infty}$上の２点$A(a_{\infty}),B(b_{\infty})$および普通点$C(c),E(e)$より定まる， 射影座標系$\sigma =[a_{\infty},b_{\infty},c;e]$で考える．この座標系が射影平面の斉次アフィン座標系であった．
この座標系における点$P(p)$の斉次座標$p(x_1,x_2,x_3)$の非斉次座標
$(x,y);x=\dfrac{x_1}{x_3},y=\dfrac{x_2}{x_3}$
の図形的意味を調べて，非斉次座標が通常のアフィン座標と一致することを示す．

斉次アフィン座標系$\sigma =[A(a_{\infty}),B(b_{\infty}),C(c);E(e)]$のもとで 斉次座標は
$a(1,0,0),b(0,1,0),c(0,0,1)$
である．
$e(1,1,1)$であり，任意の点$P(p)$の斉次座標を
$p(x_1,x_2,x_3)$
とする，
２直線$BE,CA$の交点を$E_1(e_1)$,$BP,CA$の交点を$P_1(p_1)$とすると
$e_1=(b\times e)\times (0,1,0)=(1,0,1)$
$p_1=(b\times p)\times (0,1,0)=(x_1,0,x_3)$
である．
$p_1=(x_3-x_1)c+x_1e_1$
$a=-c+e_1$
したがって，
$[C,E_1;P_1,A]=\dfrac{x_1}{x_3-x_1}\cdot (-1)$
ここで$\alpha =\frac{x_1}{x_3}$とおくと
$=\dfrac{\alpha}{\alpha -1}$
一方， $[C,E_1;P_1,A]=[C,E_1;P_1]$
であり，
$\overrightarrow{CP_1}=[C,E_1;P_1]\overrightarrow{E_1P_1} =\dfrac{\alpha}{\alpha -1}\overrightarrow{E_1P_1}$
$\overrightarrow{CE_1}=\overrightarrow{CP_1}-\overrightarrow{E_1P_1}=\dfrac{1}{\alpha -1}\overrightarrow{E_1P_1}$
$\therefore \overrightarrow{CP_1}=\alpha \overrightarrow{CE_1}=\dfrac{x_1}{x_3}\overrightarrow{CE_1}$
同様に
$\overrightarrow{CP_2}=\dfrac{x_2}{x_3}\overrightarrow{CE_2}$
すなわち次のようになる．
四角形$CE_1EE_2,CP_1PP_2$は共に平行四辺形である．
$P$の斉次座標が$(x_1,x_2,x_3)$のとき非斉次座標
$(x,y);x=\frac{x_1}{x_3},y=\frac{x_2}{x_3}$
は
$\overrightarrow{CP}=x\overrightarrow{CE_1}+y\overrightarrow{CE_2}$
を満たす．

5.アフィン幾何における2次曲線

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