ここでは，２次曲線の基本的な性質を整理し，パスカルの定理を証明する．
命題
どの３点も同一直線上にない５点を与えれば，その５点を通る２次曲線がただ一つ存在する．


証明
２次曲線は射影座標系を与えれば
$ax^2+by^2+cz^2+2pxy+2qxz+2ryz=0$
より，
$a:b:c:2p:2q:2r$
で決まるから，どの３点も同一直線上にない５点で２次曲線が決まるのは当たり前のことである．
ここでは，２次曲線の射影的性質を用いて証明する．
与えられた５点を$A,B,C,D,E$とし，$A$を中心とする線束$\{AC,AD,AE,AX,\cdots \}$と $B$を中心とする線束$\{BC,BD,BE,BX,\cdots \}$間の対応
$AC\mapsto BC,AD\mapsto BD,AE\mapsto AE$
を与えれば，射影変換がただ一通りに定まる．
実際，非斉次座標を用いて
$AE=\alpha AC+AD,AX=x AC+AD,$
$BE=\beta BC+BD,BX=yBC+BD$
と表せば，複比を保つから
$[AC,AD;AE,AX]=[BC,BD;BE,BX]$
より
$\dfrac{x}{\alpha }=\dfrac{y}{\beta}$
したがって射影変換が一通りに決まる．
この射影変換は3点$C,D,E$が一直線上にないから配景でない．
すでに証明した
異なる中心の２つの線束間の配景でない射影写像が与えられたとき， 対応直線の交点の軌跡は 線束の中心を通る２次曲線である．
より，５点を通る２次曲線が定まることがわかる．
つぎに，ほかの２点たとえば$B,C$を中心とした線束で同じ２次曲線に なることを示す必要がある．
それは，２線束の対応直線の交点の軌跡は２次曲線になることは示したが， その２次曲線の一意性はまだ示していないからです．
すでに，５点$A,B,C,D,E$を通る２次曲線は存在することは示されているので， その曲線を$\Gamma$とする．
$B,C$を中心とする線束間の配景でない射影変換は一直線上にない３点$A,D,E$で定まる．
一方，２次曲線$\Gamma$は線束間の配景でない射影変換を定義し， $A,D,E$は２次曲線上の点であるから， ２つの線束間の射影変換は一致する． したがって，$B,C$を中心とする線束間で考えても， 同じ２次曲線であり，条件を満たす２次曲線がただ一つ決まることがわかる．

どの３点も一直線上にない５点を与えたときの２次曲線の方程式を求める．
2次曲線上の４点$A,B,C,D$で定まる射影座標系$[A,B,C;D]$で考える．
$A,B,C,D$の座標は
$A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),D(1,1,1)$
であり，もう１点
$E(p,q,r)$
を通る２次曲線の方程式を求める．
$ax^2+by^2+cz^2+dxy+eyz+fzx=0$
とおく．まず$A,B,C$を通るから
$a=b=c=0$
したがって
$dxy+eyz+fzx=0$
さらに，$D,E$を通るから
$d+e+f=0,dpq+eqr+frp=0$
これを解くと
$d:e:f=r(p-q):p(q-r):q(r-p)$
したがって，求める方程式は
$r(p-q)xy+p(q-r)yz+q(r-p)zx=0$
である．

次のように解いてもよい．
直線$AB,CD,AC,BD$の方程式は
$AB(z=0),CD(x-y=0),AC(y=0),BD(z-x=0)$
より
$z(x-y)=0$
は４点$A,B,C,D$を通る2次式である．同様に
$y(z-x)=0$
も$A,B,C,D$を通る．
$z(x-y)+ky(z-x)=0$
に$E(p,q,r)$を代入する．
$k=-\dfrac{r(p-q)}{q(r-p)}$
$q(r-p)z(x-y)-r(p-q)y(z-x)=0$
整理すると
$r(p-q)xy+p(q-r)yz+q(r-p)zx=0$
となる．

射影的性質すなわち，複比を保つことを用いて２次曲線の式を求めよう，．

2次曲線上の点を$X(x,y,z)$とし，複比を保つことすなわち
$[AC,AD;AE,AX]$
$=[BC,BD;BE,BX]$
より，$x,y,z$の関係式を求める．
直線の座標(直線$ax+by+cz=0$の座標は$(a,b,c)$)を計算すると
$AC(0,1,0),AD(0,1,-1),$
$AE(0,r,-q),AX(0,z,-y);$
$BC(1,0,0),BD(1,0,-1),$
$BE(r,0,-p),BX(z,0,-x)$
より
$AE=(r-q)AC+qAD,$
$AX=(z-y)AC+yAD$
$BE=(r-p)BC+pBD,$
$BX=(z-x)BC+xBD$
したがって，複比の関係式より
$\dfrac{q(z-y)}{(r-q)y}=\dfrac{p(z-x)}{(r-p)x}$
$\therefore r(p-q)xy+p(q-r)yz+q(r-p)zx=0$

どの３点も同一直線上にない６点$A,B,C,D,E,F$と隣どうしの２点を 結ぶ直線よりなる図形を６角形$ABCDEF$といい，点$A,B,C,D,E,F$を この６角形の頂点，隣同士の２点を結ぶ直線$AB,BC,CD,DE,EF,FA$をこの６角形の辺という．
また，3組の２辺$AB,DE;BC,EF;CD,FA$を対辺という．すなわち$AB$の対辺は$DE$である．

準備が整いました．射影幾何の本では必ず扱われるパスカルの定理の証明をしよう．
定理(パスカル)
1つの2次曲線上の頂点からなる6角形の3組の対辺の交点は同一線上にあり逆に6角形 の３組の対辺の交点が同一直線上にあればこの6角形の6頂点は1つの２次曲線上にある．

まず，解析幾何すなわち座標を計算して証明する．
証明1
6角形を$ABCDEF$とし，射影座標系$[A,B,C;D]$のもとで考える．
2直線$AB,DE$の交点を$L$,2直線$BC,EF$の交点を$M$,２直線$CD,FA$の交点を$N$とする．
$A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),$
$D(1,1,1),E(p,q,r),F(x,y,z)$
とする．
５点$A,B,C,D,E$を通る２次曲線は
$r(p-q)xy+p(q-r)yz+$
$q(r-p)zx=0\cdots (\sharp)$
であるから，$(\sharp)$は$F$の満たす式である．
次に $L(l),M(m),N(n)$の座標を求めよう．

これは，単純な外積の計算である．
$l=(a\times b)\times (d\times e)$
等を計算し$l,m,n$の行列式を計算すると
$\det \begin{pmatrix}l\\m\\n\end{pmatrix}$
$=r(-p+q)xy+p(r-q)yz$
$+q(p-r)zx\cdots (\flat)$
である(右図)．
ちなみに，
$L(l),M(m),N(n)$が一直線上にある
$\Leftrightarrow \det \left(\begin{smallmatrix}l\\m\\n\end{smallmatrix}\right)=0$
である．
５点$A,B,C,D,E$で２次曲線が決まるから $(\sharp),(\flat)$より，
$F$が２次曲線上にあれば，３点$L,M,N$は一直線上にあり，逆に$L,M,N$が一直線上にあれば$F$は２次曲線上にある．

次に射影的性質を用いてパスカルの定理を証明しよう．

証明2
$(\Rightarrow)$
６角形の文字の設定は証明１と同じとし，さらに $BC,DE$の交点を$G$,$CD,EF$の交点を$H$とする． 射影対応を用いる．
$B$を中心とする線束と$F$を中心とする線束間で
$\{BA,BC,BD,BE\}\barwedge\{FA,FC,FD,FE\}$
直線$DE$への配景写像
$\{BA,BC,BD,BE\}\stackrel{B}{\doublebarwedge}\{L,G,D,E\}$
直線$CD$への配景写像
$\{FA,FC,FD,FE\}\stackrel{F}{\doublebarwedge}\{N,C,D,H\}$
したがって
$\{L,G,D,E\}\barwedge\{N,C,D,H\}$
さらに$D$が共通であるから
$\{L,G,D,E\}\doublebarwedge\{N,C,D,H\}$
したがって，$LN,GC,EH$は一点で交わる．
ここで$GC$は$BC$であり，$EH$は$EF$であるから，２直線$EF,BC$の交点$M$ が直線$LN$上にあり，３点$L,M,N$が一直線上にあることが示された．
$(\Leftarrow)$
示すべきことは，$L,M,N$が同一直線上にあるとき，$B$を中心とする線束と $F$を中心とする線束が射影対応をなすことすなわち
$\{BA,BC,BD,BE\}\barwedge \{FA,FC,FD,FE\}$
をしめすことである．
すでに証明した内容の逆をたどっていこう．
$NL,EF,GC$が一点$M$で交わるから
$\{L,G,D,E\}\stackrel{M}{\doublebarwedge}\{N,C,D,H\}$
$B,F$を中心とする線束と対応付けて
$\{L,G,D,E\}\doublebarwedge\{BL,BG,BD,BE\}$
$\{N,C,D,H\}\doublebarwedge\{FN,FC,FD,FH\}$
したがって，
$\{BL,BG,BD,BE\}\barwedge\{FN,FC,FD,FH\}$
文字を書き換えて
$\{BA,BC,BD,BE\}\barwedge\{FA,FC,FD,FE\}$
したがって証明が終了した．


1.射影幾何とその部分幾何

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