§3. 退化する2次曲線
中心が異なる２つの線束間の配景写像でない射影写像(複比を保つ対応)が
与えられたとき，この対応直線の交点の軌跡が２次曲線であるが，
ここでは，配景写像の場合を見直そう．配景写像の場合の対応直線の軌跡は２直線である．右図は$P$が中心である線束と $Q$が中心である線束である．この図でいえば，対応直線の交点の軌跡は２直線$l,m$ である．$l$は配景軸であり，$m$は直線$PQ$である． $m$を含めることに違和感を感じるかもしれないが，$m$上の任意の点$S$は 中心$P$が線束の要素である直線$PQ$と中心$Q$が線束の要素である$QP$ の交点であるから直線$m$も軌跡に含まれる． たとえば，２直線 $ax+by+cz=0,px+qy+rz=0$ の交点$(x_0,y_0,z_0)$は $ax_0+by_0+cz_0=0,px_0+qy_0+rz_0=0$ を満たす点で，2直線が一致するときすなわち $ax+by+cz=0,ax+by+cz=0$ の交点はこの直線上のすべての点と考えることが自然である． また，対称行列 $A=\begin{pmatrix}a&p&q\\p&b&r\\q&r&c\end{pmatrix}$ は直交行列で対角化でき$\det A=0$すなわち行列$A$が$0$を固有値に持つとき $\mathrm{rank}(A)=2$すなわち固有値$0$が１つのとき 直交行列$B$が存在して $A=B^TAB=\begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ であるから,２次曲線は $ax^2+by^2=0$ $a,b$が同符号なら$a,b$をそれぞれ$a^2,b^2$とおき $a^2x^2+b^2y^2=0$ 異符号なら$a,b$をそれぞれ$a^2,-b^2$とおき $a^2x^2-b^2y^2=0$ したがって，交わる２直線である．ちなみに，対角化する前の座標系で表せば $a^2(p_1x+q_1y+r_1z)^2-b^2(p_2x+q_2y+r_2z)^2=0$ となる．因数分解でき，２直線である． $\mathrm{rank}(A)=1$すなわち，固有値$0$が２つのとき 直交行列$B$が存在して $A=B^TAB=\begin{pmatrix}a&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ であるから,２次曲線は $ax^2=0$ すなわち対角化する前の座標系で表せば，直線 $px+qy+rz=0$ である(重解)． 
逆に２直線が与えられれば$(ax+by+cz)(px+qy+rz)=0$ $apx^2+bqy^2+crz^2$ $+(aq+bp)xy+(ar+cp)xz$ $+(br+cq)yz=0$ より，相反対合変換が定まり，その行列 $\begin{pmatrix}ap&\dfrac{aq+bp}{2}&\dfrac{ar+cp}{2}\\ \dfrac{aq+bp}{2}&bq&\dfrac{br+cq}{2}\\ \dfrac{ar+cp}{2}&\dfrac{br+cq}{2}&cr\end{pmatrix}$ の行列式が$0$になる(右図)， このように線型代数を用いれば，当たり前の結果であるが，これを射影幾何の言葉で 議論してみよう． $A=\begin{pmatrix}a&p&q\\p&b&r\\q&r&c\end{pmatrix}$ が逆行列を持たないときも含めて曲線(直線も含む) $\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0\cdots (\sharp)$ を広義の２次曲線という．ここでは，２次曲線を広義の２次曲線の意味で用いる． まず$\mathrm{rank}(A)=2$のとき考える． $A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ を満たす点$P(p_1,p_2,p_3)$が１点存在し，その点をこの２次曲線(相反対合変換)の特異点という． さらに，２次曲線は$(\sharp)$を満たす点の軌跡であり，特異点$P$は$(\sharp)$を満たすので，特異点$P$は２次曲線上の点である． 極線の言葉でいえば，２次曲線上に１点極線が存在しない点があり，その点は特異点$P$である． また，特異点以外の任意の点$(x_0,y_0,z_0)$の極線は $\begin{pmatrix}x_0&y_0&z_0\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}=0$ を満たすから，任意の極線はかならず特異点を通ることがわかる． 
極三角形による座標系でこの２次曲線を表そう．2次曲線上にない点$P$をとり,$P$の極線上の２次曲線上にない点$Q$をとる． $P$の極線と$Q$の極線の交点を$R$とする．ここで，$P,Q$の極線は特異点を通るから， 点$R$が特異点である． $P,Q,R$が基本点の座標系をとれば， $P(1,0,0),Q(0,1,0),R(0,0,1)$である． $P$の極線は直線$QR(1,0,0)$,$Q$の極線は直線$PR(0,1,0)$ さらに，$R$は特異点である． すなわち $(1,0,0)\mapsto (1,0,0),(0,1,0)\mapsto (0,1,0),(0,0,1)\mapsto (0,0,0)$ したがって，２次曲線は $\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k&0&0\\0&l&0\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0$ すなわち $kx^2+ly^2=0$ $k,l$が異符号のとき２直線で，$k,l$が同符号のとき存在しない． なお，$k,l$が同符号のとき，２本の虚直線が存在すると表現することもある． 次に$\mathrm{rank}(A)=1$のとき考える． このときは，特異点は２点存在するので，特異点全体は直線となりその直線を$l$とする． 2次曲線上にない点を$P$とする．$P$の極線はすべての特異点を通るから直線$l$である． 直線$l$上の２点$Q,R$をとり，３点$P,Q,R$が基本点である座標系を用いれば $(1,0,0)\mapsto (1,0,0),(0,1,0)\mapsto (0,0,0),(0,0,1)\mapsto (0,0,0)$ より ２次曲線は $\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=0$ すなわち $kx^2=0$ これは直線$l$で，２次曲線は特異点からなる直線である． 
例1２次曲線 $4x^2-2y^2+10z^2$ $-2xy+14xz-8yz=0$ を考える． 先ず，行列 $A=\begin{pmatrix}4&-1&7\\-1&-2&-4\\7&-4&10\end{pmatrix}$ について $\det A=0$で固有値$0$は1個であるから$\mathrm{rank}(A)=2$であり， 特異点(固有値$0$の固有ベクトル)は$(-2,-1,1)$である(右図)． ２次曲線 $4x^2-2y^2+10z^2-2xy+14xz-8yz=0$ を計算しよう． $x$で整理すると $2x^2-(y-7z)x-(y^2+4yz-5z^2)=0$ 判別式$D$は $D=(y-7z)^2+8(y^2+4yz-5z^2)$ $=9(y+z)^2$ $x=\dfrac{(y-7z)\pm (3y+3z)}{4}$ $\therefore x-y+z=0,2x+y+5z=0$ ２直線の交点が$(-2,-1,1)$で特異点である． 
例2２次曲線 $x^2+4y^2+4z^2-4xy+4xz-8yz=0$ について考える． 行列 $A=\begin{pmatrix}1&-2&2\\-2&4&-4\\2&-4&4\end{pmatrix}$ について $\mathrm{rank}(A)=1$で固有値$0$が重解である． 一方，２次曲線は $(x-2y+2z)^2=0$ であり，直線$x-2y+2z=0$. これは特異点からなる直線すなわち，２点$(-2,0,1),(2,1,0)$を通る直線である（右図参照）． 4.パスカルの定理 射影幾何の目次 全体の目次 |