§1.2次曲線の相反対合変換による定義 射影幾何学における２次曲線の定義は射影対応を用いる方法が一般的であるがそれは 次の節で述べるとして，ここでは ２次曲線を相反対合変換を用いて定義する． 対称行列 $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{13}\end{pmatrix}$ $A$の余因子行列(逆行列でもよい) $B=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{12}&A_{22}&A_{23}\\A_{13}&A_{23}&A_{13}\end{pmatrix}$ とする． 射影平面上の行列$A$で決まる相反対合変換$f$すなわち $k\begin{pmatrix}L_1\\L_2\\L_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{13}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}$ $k'\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{12}&A_{22}&A_{23}\\A_{13}&A_{23}&A_{13}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}L_1\\L_2\\L_3\end{pmatrix}$ のとき 定義 (1) 射影平面上，相反対合変換の自己共役点全体の集合を２次曲線という． ２次曲線の方程式は $\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{13}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0 \ \ \cdots (1)$ 計算すると $a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz=0$ (2) 射影平面上，相反対合変換の自己共役直線全体の集合，すなわち，これらの直線群の包絡線を２次曲線という． ２次曲線の方程式は $\begin{pmatrix}L&M&N\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{12}&A_{22}&A_{23}\\A_{13}&A_{23}&A_{13}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}L\\M\\N\end{pmatrix}=0 \ \ \cdots (2)$ 計算すると $A_{11}L^2+A_{22}M^2+A_{33}N^2+2A_{12}LM+2A_{13}LN+2A_{23}MN=0$ 
(1),(2)が同じ曲線であることを確認しよう．そのために，２次曲線と直線の関係を定義する．$\bullet \ $相反対合変換の自己共役直線を対応する ２次曲線の接線といい，自己共役点をその極線の接点という．(右図で$l$が接線，$A$が接点) $\bullet \ $相反対合変換の異なる自己共役点を通る直線を 対応する２次曲線の割線という．(右図で$m$が割線) $\bullet \ $相反対合変換の自己共役点を通らない 直線を対応する２次曲線の離線という．(右図で$n$が離線) 
このように，直線は３つの場合に分かれる．同様に点も３つの場合に分かれる．$\bullet \ $相反対合変換の自己共役点を対応する ２次曲線の接点といい，自己共役線をその極点の接線という．(右図で$P$が接点) $\bullet \ $相反対合変換の２本の異なる自己共役線が引ける点を 対応する２次曲線の２接線点という．(右図で$Q$が２接線点） $\bullet \ $相反対合変換の自己共役線が通らない点を２次曲線の$0$接線点という（右図で$R$が$0$接線点）． 接点，接線の言葉を用いれば，相反対合変換を次のようにいうことができる． 相反対合変換 $k\left(\begin{smallmatrix}L_1\\L_2\\L_3\end{smallmatrix}\right)= \left(\begin{smallmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{13}\end{smallmatrix}\right)\left(\begin{smallmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{smallmatrix}\right)$ によって，接点(2次曲線上の点)はその点における接線にうつり， $k\left(\begin{smallmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{smallmatrix}\right)= \left(\begin{smallmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{12}&A_{22}&A_{23}\\A_{13}&A_{23}&A_{13}\end{smallmatrix}\right) \left(\begin{smallmatrix}L_1\\L_2\\L_3\end{smallmatrix}\right)$ によって，２次曲線の接線は接点にうつる． (1),(2)が同じ曲線であることを確認する． 点$P(p_1,p_2,p_3)$が２次曲線 $\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{13}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0$ 上にあるとき$P$における接線の式が(2)を満たすことを示せばよい． $(L_1 \ \ L_2 \ \ L_3)=(p_1 \ \ p_2 \ \ p_3)A$ とおく．$A$の余因子行列を$B$とおくと $k(p_1 \ \ p_2 \ \ p_3)=(L_1 \ \ L_2 \ \ L_3)B$ この式を $(p_1 \ \ p_2 \ \ p_3)A\left(\begin{smallmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{smallmatrix}\right)=0$ に代入すると $(L_1 \ \ L_2 \ \ L_3)B\left(\begin{smallmatrix}L_1\\L_2\\L_3\end{smallmatrix}\right)=0$ であり，$(L_1,L_2,L_3)$は(2)を満たす． したがって，(1),(2)は同じ曲線である． 2次曲線の議論を始める前に，２次曲線と直線の関係をはっきりさせよう． まず，次の命題を証明する． 命題 相反対合変換において，自己共役直線上，他の自己共役点は存在しない． 証明 点$P(p)$の極線$l$が点$P$を通るとき，直線$l$上の他の自己共役点$Q(q)$が存在したする． $Q$の極線を$m$とすると，$m$は$P,Q$共に通り$l,m$は一致する．相反対合変換は１対１であるから$P$と$Q$ は一致する． ２次曲線は双曲型相反対合変換が定義されたとき定義される曲線である． 相反対合変換を与えれば，２次曲線が定まるから，相反対合変換で定義される極，極線は２次曲線でも定義される． なお，ユークリッド幾何における極，極線は円が定まれば，その円による反転変換を用いて，定義される概念である． （コークスター・グレイツァー著 幾何学再入門 河出書房新社 第６章） 相反対合変換ですでに述べた定義，性質であるがもう一度述べておく． $\bullet$点$P$の極線が$l$のとき，$l$上の任意の点の極線は点$P$を通る． $\bullet$点$P$が点$Q$の極線上にあるとき，２点$P,Q$は共役であるという． $\bullet$直線$l$の極点が直線$m$上にあるとき２直線$l,m$は共役であるという． ２次曲線でも，共役関係が定義される． 
命題
２点$P,Q$を通る直線が２次曲線$\Gamma$と交わる点が$R,S$のとき点$P,Q$が２次曲線$C$の共役点$\Longleftrightarrow \ [P,Q;R,S]=-1$ が成り立つ． 証明 ２次曲線を $(x \ y \ z)A\left(\begin{smallmatrix}x\\y\\z\end{smallmatrix}\right)=0$ とすると $P(p),Q(q)$がこの２次曲線の共役$\Longleftrightarrow \ p^TAq=0$ であり，2次曲線$\Gamma$上の点$R(r),S(s)$は $r^TAr=0,s^TAs=0$ を満たす． $P,Q,R,S$が一直線上にあるから $p=r+\alpha s,q=r+\beta s$ と表せる， $p^TAq=(r+\alpha s)^TA(r+\beta s)$ $=(\alpha +\beta )r^TAs$ $S(s)$の極線上に$R(r)$がないから$r^TAs\neq 0$より $P,Q$が共役$\Longleftrightarrow \ \alpha +\beta =0\Longleftrightarrow [P,Q;R,S]=-1$ を得る． 
次に，２次曲線を簡単に表す座標系を考える．極三角形を用いると，２次曲線は $ax^2+by^2+cz^2=0$ となる．それは，２次曲線上の４点をとり，完全四角形の性質を利用する． 2次曲線$C$上の４点$P,Q,R,S$をとるとどの３点も同一直線上にないから，四角形 $PQRS$は完全四角形である． $T,U,V$を図のように取れば$\triangle TUV$が極三角形であり，$T,U,V$が基本点である座標系を 考えればよい． $T$を配景の中心とし $[P,S;X,U]=[Q,R;Y,U]$, $V$を配景の中心とし $[P,S;X,U]=[R,Q;Y,U]$ より $[P,S;X,U]=[Q,R;Y,U]=-1$ したがって，$X,U$および$Y,U$は共役より，$U$の極線は直線$TV$. 同様に$V$の極線は$UT$,$T$の極線は$VU$より $\triangle TUV$は極三角形であり，$T,U,V$が基本点の射影座標系で２次曲線は $ax^2+by^2+cz^2=0$ となる（前節の§8 極と極線に書いてある）． もう一つ大事な方法があり，それは，２次曲線の２接線点（２本の自己共役線が引ける点）と， その極線と２次曲線の交点です． 
まず，２接線点とその極線の関係を調べましょう．$P$を２接線点とし，$P$を通る接線(自己共役線)を$l,m$とし，２次曲線との接点をそれぞれ$Q,R$とする． 点$P$は$Q$の極線$l$と$R$の極線$m$の交点であるから，点$P$の極線は$Q,R$を通る，すなわち直線$QR$である． ここで，求めた，３点$P,Q,R$を基本点とする座標系で $P\mapsto \text{直線}QR;Q\mapsto \text{直線}QP;R\mapsto \text{直線}RP$ より $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}k\\0\\0\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}0\\0\\l\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}0\\m\\0\end{pmatrix} $ であるから， $kx^2+(l+m)yz=0$ $k$で割って文字を置き換え通常 $x^2+kyz=0$ と表す． 単位点$E(1,1,1)$を２次曲線上の取ると2次曲線は $x^2-yz=0$ となる．この式を２次曲線の標準形とする場合が多い． $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-\dfrac{1}{2}\\0&-\dfrac{1}{2}&0\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-2\\0&-2&0\end{pmatrix}$ であるから，同じ２次曲線を自己共役直線であらわすと $L_1^2-4L_2L_3=0$ となる． 2.2次曲線の射影による定義 射影幾何の目次 全体の目次 |