射影平面における同じ射影直線(直線または直線束)や射影平面間の射影写像を射影変換という．
ちなみに$A\to B$の写像のうち$B=A$すなわち$A\to A$の1対1,上への写像を$A$の変換と呼ぶ．
ここでは，射影直線の射影変換を扱う．
直線上に射影座標系$[e_1,e_2;e]$を定め，この座標系のもとでの射影変換を考える．
射影変換$f$は
$f:k\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
と表せる．ただし$\det \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\neq 0$
$f$のもとでの不動点（動かさない点）について調べよう．
不動点は
$k\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
を満たす$(x,y)$であるから，行列
$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$
の固有ベクトルである．
行列$A$の固有方程式は
$x^2-(a+d)x+(ad-bc)=0$
$D=(a+d)^2-4(ad-bc)$
とおく．
$D > 0$なら$f$は２つの不動点をもつ．この射影変換を双曲型射影変換という．
$D = 0$なら$f$はただ１つの不動点をもつ．この射影変換を放物型射影変換という．
$D < 0$なら$f$は不動点をもたない．この射影変換を楕円型射影変換という．

直線から直線への恒等変換でない射影変換$f$で
$f\circ f=\mathrm{id}$
を満たすものを対合変換または単に対合という．ただし$\mathrm{id}$は恒等変換．
対合変換の定義は
$f^{-1}=f,f\neq \mathrm{id}$
としてもよい．

ケーリー・ハミルトンの公式より
$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=0$
であり
$A^2=kE$
のとき，
$(a+d)A=(ad-bc+k)E$
および
$A\neq kE$
より
$a+d=0$
を得る．
逆に$a+d=0$のときケーリーハミルトンの公式より
$A^2+(ad-bc)E=0$
まとめると次のようになる．
命題1
射影変換
$f:k\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
が対合変換になるための必要十分条件は$a+d=0$である．

対合変換は次のように表せる．
$k\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\cdots (\sharp)$
対合変換$(\sharp)$を非斉座標で表すと
$y=\dfrac{ax+b}{cx-a}$
これは，逆関数と元の関数が一致する．
対合変換は$a:b:c$で決まるから次の命題が成り立つ．
命題2
２点の像を任意に決めれば対合変換はただ一つに決まる．

命題3
直線上の異なる２点$u,v$で
$f(u)=v,f(v)=u$
を満たすものが存在れば，射影変換$f$は対合変換である．
証明
任意の点$p$に対して，
$f(p)=q,f(q)=r$
とする．目標は$r=p$.
$f$は射影変換であるから
$[u,v;p,q]=[f(u),f(v);f(p),f(q)]=[v,u;q,r]=[u,v;r,q]$
したがって$p=r$が成り立つ．$\blacksquare$

不動点を２個持つ射影変換すなわち双曲型射影変換の 対合変換は次が成り立つ．
命題4
不動点を２個持つ射影変換$f$の不動点を$u,v$とする．$f$が 対合変換になるための必要十分条件は$u,v$と異なる任意の点$p$に対して
$u,v,p,f(p)$が調和点列をなす，すなわち
$[u,v;p,f(p)]=-1$
を満たすことである．
証明
$f(p)=p'$とおく．
$f$が対合変換のとき．
$[u,v;p,p']=[f(u),f(v);f(p),f(p')]=[u,v;p',p]$
より
$[u,v;p,p']=\dfrac{1}{[u,v;p,p']}$
したがって，
$[u,v;p,p']=\pm 1$
$f(p)\neq p$であるから$[u,v;p,p']\neq 1$
したがって，
$[u,v;p,p']=-1$
逆に，$u,v$と異なる任意の点$p$で
$[u,v;p,p']=-1$
のとき．
$[u,v;p',p]=-1$
一方，
$-1=[u,v;p,p']=[f(u),f(v);f(p),f(p')] =[u,v;p',f(p')]$
より
$[u,v;p',p]=[u,v;p',f(p')]$
$\therefore f(p')=p$
したがって，任意の$p$で
$f(p)=p',f(p')=p$
より$f$は対合変換である．$\blacksquare$

直線の対合変換は2点の像で定まるから，$P\mapsto P',Q\mapsto Q'$を与えれば，任意の点$R$ の像が定まる．その作図は次の命題による．
命題5
完全四角形$ABCDEF$の3組の対辺$AB,CD;BC,AD;BD,AC$と任意の直線との交点をそれぞれ，$P,P';Q,Q';R,R'$とするとこの3組の対は直線の一つの対合変換の対応点である．
証明
$AB,CD$の交点を$G$とする．
$B$を中心とする配景写像，および$A$を中心とする配景写像により $\{P,P',Q,R\}\stackrel{B}{\doublebarwedge} \{G,P',C,D\}$
$\stackrel{A}{\doublebarwedge} \{P,P',R',Q'\}$
より，
$[P,P';Q,R]=[P,P';R',Q']$
複比の性質より
$=[P',P;Q',R']$
したがって
$P\mapsto P',Q\mapsto Q',R\mapsto R'$
の定める射影変換は
$P\mapsto P',P'\mapsto P$
を満たすから対合変換である(命題3).$\blacksquare$

直線上に$P\mapsto P',Q\mapsto Q'$を与えたときの$R$の像は
$1. \ R$を通る直線を引く．
$2.$直線外に点$G$を取り，2直線$GP,GP'$を引き，$1$で引いた直線との交点を$B,C$とする．
$3. \ QC$と$PB$の交点を$A$.
$4. \ Q'B$と$P'C$の交点を$D$
$5. \ AD$と直線との交点が求める$R'$

定義
直線の射影変換$f$が対合変換のとき，不動点以外の点$P(p)$に対して
２点の対$P(p),Q(f(p))$を対合変換$f$の共役点という．


5.射影平面の射影変換

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