射影直線の写像として配景写像と射影写像を述べた．
配景写像は分かり易いが，理論を作る上では扱いづらい． それは配景写像の合成が配景写像とは限らないからです．
右図は
$\{A,B,C,D\}\stackrel{O}{\doublebarwedge} \{A',B',C',D'\},$
$\{A',B',C',D'\}\stackrel{O'}{\doublebarwedge} \{A'',B'',C'',D''\}$
であるが，$\{A,B,C,D\},\{A'',B'',C'',D''\}$は 配景の位置ではないことを示している．
したがって，配景写像全体は演算で閉じていないので群になっていない．それゆえ，配景写像より広い概念の射影写像を扱うことになる．
この頁では，どのような射影写像が配景写像になるか，および任意の射影写像は 配景写像の合成で表すことができることを示す．

まず，射影写像の記号を定める．
配景写像は$\doublebarwedge$を用いたが射影写像は$\barwedge$を用いる．
使い方は同じで，直線$h$から直線$h'$の射影写像は
$h\{A,B,C,\cdots \}\barwedge h'\{A',B',C',\cdots \}$
と表す．点の対応が大事で$h,h'$は明らかな場合が多く，
$h,h'$を除いた
$\{A,B,C,\cdots \}\barwedge \{A',B',C',\cdots \}$
と表すことが多い．また，この写像を$f$とするとき通常の写像のように
$f:\{A,B,C,D,\cdots \}\barwedge \{A',B',C',D',\cdots \}$
と表す．

配景写像は複比を保つから射影写像である．
逆を調べましょう．次が成り立ちます．
命題1
直線$h$から直線$h'$の射影写像で，$h,h'$の交点が対応点ならこの射影写像は配景写像である．

証明
2直線$h,h'$の交点を$A=A'$として
$f:h\{A,B,C,\cdots \}\barwedge h'\{A',B',C',\cdots \}$
とする．
$h$上の任意の点$D$に対して
$f:D\mapsto D'$
とする．
一方，直線$B\times B'$と直線$C\times C'$の交点を$O$とし，
直線$O\times D$と$h'$との交点を$D''$とする．このとき
$h\{A,B,C,D\}\stackrel{O}{\doublebarwedge}h'\{A',B',C',D''\}$
したがって，
$[A,B;C,D]=[A',B';C',D'']$
一方，
$h\{A,B,C,D \}\barwedge h'\{A',B',C',D' \}$
より
$[A,B;C,D]=[A',B';C',D']$
であるから
$[A',B';C',D']=[A',B';C',D'']$
したがって，$D'$と$D''$は一致し(射影写像は3点の像で決まるから当たり前ではある)
$h\{A,B,C,D\}\stackrel{O}{\doublebarwedge}h'\{A',B',C',D'\}$
が成り立つ．$\blacksquare$

配景写像は２直線の交点は対応点であり，逆に2直線の交点が対応点でないとき，配景の中心をどこにとっても配景写像にならないから次にようになる． ．
命題2
直線$h$から直線$h'$の射影写像が配景写像になるための必要十分条件は
$h,h'$の交点が対応点になるときである．

直線束の場合も同様に証明することができ次のようになる．
命題3
直線束から直線束の射影写像が配景写像になるための必要十分条件は
共通直線(２つの線束のそれぞれの中心を通る直線)が対応直線のときである．

この命題より次の命題を得る.
命題4
２つの線束に射影写像が存在し，対応直線の中に共通直線が存在するなら，対応直線の交点は一直線上にある．
この直線が配景軸である．

これで，このページの目標である次の命題が証明できる．
定理
2直線$h,h'$間の射影写像は，２つの配景写像の合成で表せる．

証明
$h\{A,B,C,D \}\barwedge h'\{A',B',C',D' \}$
のときを考える．
直線を
$A'\times A=l,A'\times B=m,$
$A'\times C=n,A'\times D=p;$
$A\times A'=l',A\times B'=m',$
$A\times C'=n',A\times D'=p'$
とおく．
このとき
$h\{A,B,C,D\}\stackrel{A'}{\doublebarwedge}A'\{l,m,n,p\}$
$h'\{A',B',C',D'\}\stackrel{A}{\doublebarwedge}A\{l',m',n',p'\}$
したがって，仮定より
$A'\{l,m,n,p\}\barwedge A\{l',m',n',p'\}$
$l,l'$は同じ直線であるから
$A'\{l,m,n,p\}\doublebarwedge A\{l',m',n',p'\}$
となる．
$m\times m'=B'',n\times n'=C'',p\times p'=D''$
は同一直線上にあり(命題4)，その直線と$l(=l')$の交点を$A''$とすれば，
$\{A,B,C,D\}\stackrel{A'}{\doublebarwedge}\{A'',B'',C'',D''\} \stackrel{A}{\doublebarwedge}\{A',B',C',D'\}$
である．したがって証明された．$\blacksquare$

注意
$(1)$1次元の射影変換は3点の像で決まから$h\to h'$の射影変換が
$A\mapsto A',B\mapsto B',C\mapsto C'$のとき，$h$上の任意の点$D$で
$D\mapsto D'$
を満たす$h'$上の点$D'$が定まる．定理の証明で用いた図形はその点$D'$の作図法を示している．実際，$B'',C''$を定め，直線$B''C''$と直線$A'D$の交点を$D''$とし，$AD''$と$h'$の交点が$D'$である．

$(2)$直線上に3点$A,B,C$を与えたとき，第4調和点$D$すなわち
$[A,B;C,D]=-1$
を満たす点$D$はすでに述べたが，
$[A,B;C,D]=\alpha$
を満たす点も作図することができる．
実際，$C$を通る直線上に点$P,Q$を
$CP:CQ=\alpha (=\alpha :1)$を満たすように取る．
2直線$AP,BQ$の交点を$R$とすると，$R$を通り$PC$と平行な直線と直線$AB$との交点が点$D$ である．
証明
直線$AB$から直線$PC$への$R$を配景の中心とする配景写像により
$D\mapsto \infty$
である．したがって
$[A,B;C,D]=[P,Q;C,\infty]$
$=\dfrac{PC}{QC}\cdot \dfrac{\infty}{\infty}=\dfrac{PC}{QC}=\alpha \ \ \blacksquare$


$(3)$命題1より直線$h$から直線$h'$の射影写像が配景写像の時，対応点を結ぶ直線が一点で交わることが分かるが，配景写像でないとき，対応点を結ぶ直線の交点はどうなるかを調べよう．
右図は，$y$軸(直線$h$)上に等間隔に$A_1,A_2,A_3,\dots$，$x$軸(直線$h'$)上に等間隔に$B_1,B_2,B_3,\dots$と取ったものである．
$h\{A_1,A_2,A_3,\dots \}\barwedge h'\{B_1,B_2,B_3,\dots \}$
であるが，$h,h'$の交点である原点が対応点でないから，配景写像ではない．
$A_1B_1$と$A_2B_2$の交点，$A_2B_2$と$A_3B_3$の交点，・・・と点を取っていくと曲線が現れる．これは2次曲線(放物線)である．2次曲線の定義は少し異なり，この図でいうなら，直線$A_1B_1,A_2B_2,A_3B_3,\dots $の包絡線として定義することになる．
次に線束間の射影写像で配景写像でない場合(対応直線の交点が共線でないとき)を考える．
右図は$A_i,B_i$はそれぞれ直線$h,h'$上を等間隔に取ったものである．
$A_1$を中心とする線束と$B_6$を中心とする線束の射影写像
$\{A_1B_1,A_1B_2,A_1B_3,\dots \}$
$\barwedge \{B_6A_2,B_6A_3,B_6A_4,\dots \}$
は配景写像でない．対応直線の交点の軌跡は2次曲線(楕円)であり，これは射影幾何における2次曲線の定義である．

Pappusの定理も配景写像の性質を用いて証明できる．
定理(Pappus)
直線$l$上に3点$A,B,C$，直線$m$上に３点$A',B',C'$がある．
$AB',A'B$の交点を$P$,$AC',A'C$の交点を$Q$,$BC',B'C$の交点を$R$とすると３点$P,Q,R$ は一直線上にある．

証明
$AR$と$m$の交点を$D'$,$A'R$と$l$の交点を$D$とする．
$\{A,B,C,D\}\stackrel{R}{\doublebarwedge}\{D',C',B',A'\}$
さらに，複比の性質より
$[D',C';B',A']=[A',B';C',D']$
であるから
$\{A,B,C,D\}\barwedge \{A',B',C',D'\}$
したがって
$\{AA',AB',AC',AD'\}\barwedge \{A'A,A'B,A'C,A'D\}$
$AA'$が共通であるから3点$P,Q,R$は一直線上にある(配景軸上)．$\blacksquare$

4.射影変換と対合変換

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