射影直線の写像として配景写像と射影写像を述べた．
配景写像は分かり易いが，理論を作る上では扱いづらい． それは配景写像の合成が配景写像とは限らないからです．
右図は
$\{A,B,C,D\}\stackrel{O}{\doublebarwedge} \{A',B',C',D'\},$
$\{A',B',C',D'\}\stackrel{O'}{\doublebarwedge} \{A'',B'',C'',D''\}$
であるが，$\{A,B,C,D\},\{A'',B'',C'',D''\}$は 配景の位置にはないことを示している．
したがって，これからは射影写像を中心に扱うことになる．
この頁では，どのような射影写像が配景写像になるか，および任意の射影写像は 配景写像の合成で表すことができることを示す．

まず，射影写像の記号を定める．
配景写像は$\doublebarwedge$を用いたが射影写像は$\barwedge$を用いる．
使い方は同じで，直線$h$から直線$h'$の射影写像は
$h\{A,B,C,\cdots \}\barwedge h'\{A',B',C',\cdots \}$
と表す．点の対応が大事で$h,h'$は明らかな場合が多く，
$h,h'$を除いた
$\{A,B,C,\cdots \}\barwedge \{A',B',C',\cdots \}$
と表すことが多い．また，この写像を$f$とするとき通常の写像のように
$f:\{A,B,C,D,\cdots \}\barwedge \{A',B',C',D',\cdots \}$
と表す．

配景写像は複比を保つから射影写像である．
逆を調べましょう．次が成り立ちます．
命題1
直線$h$から直線$h'$の射影写像で，$h,h'$の交点が対応点ならこの射影写像は配景写像である．

証明
2直線$h,h'$の交点を$A=A'$として
$f:h\{A,B,C,\cdots \}\barwedge h'\{A',B',C',\cdots \}$
とする．
$h$上の任意の点$D$に対して
$f:D\mapsto D'$
とする．
一方，直線$B\times B'$と直線$C\times C'$の交点を$O$とし，
直線$O\times D$と$h'$との交点を$D''$とする．このとき
$h\{A,B,C,D\}\stackrel{O}{\doublebarwedge}h'\{A',B',C',D''\}$
したがって，
$[A,B;C,D]=[A',B';C',D'']$
一方，
$h\{A,B,C,D \}\barwedge h'\{A',B',C',D' \}$
より
$[A,B;C,D]=[A',B';C',D']$
であるから
$[A',B';C',D']=[A',B';C',D'']$
したがって，$D'$と$D''$は一致し
$h\{A,B,C,D\}\stackrel{O}{\doublebarwedge}h'\{A',B',C',D'\}$
が成り立つ．

配景写像は２直線の交点は対応点である．
したがって逆も成り立ち，次のようになる．
命題2
直線$h$から直線$h'$の射影写像が配景写像になるための必要十分条件は
$h,h'$の交点が対応点になるときである．

直線束の場合も同様に証明することができ次のようになる．
命題3
直線束から直線束の射影写像が配景写像になるための必要十分条件は
共通直線(２つの線束のそれぞれの中心を通る直線)が対応直線のときである．

この命題より次の命題を得る.
命題4
２つの線束に射影写像が存在し，対応直線の中に共通直線が存在するなら，対応直線の交点は一直線上にある．
この直線が配景軸である．

準備が整った．このページの目標である次の命題が証明できる．
定理
2直線$h,h'$間の射影写像は，２つの配景写像の合成で表せる．

証明
$h\{A,B,C,D \}\barwedge h'\{A',B',C',D' \}$
のときを考える．
直線を
$A'\times A=l,A'\times B=m,$
$A'\times C=n,A'\times D=p;$
$A\times A'=l',A\times B'=m',$
$A\times C'=n',A\times D'=p'$
とおく．
このとき
$h\{A,B,C,D\}\stackrel{A'}{\doublebarwedge}A'\{l,m,n,p\}$
$h'\{A',B',C',D'\}\stackrel{A}{\doublebarwedge}A\{l',m',n',p'\}$
したがって，仮定より
$A'\{l,m,n,p\}\barwedge A\{l',m',n',p'\}$
$l,l'$は同じ直線であるから
$A'\{l,m,n,p\}\doublebarwedge A\{l',m',n',p'\}$
となる．
$m\times m'=B'',n\times n'=C'',p\times p'=D''$
は同一直線上にあり(命題4)，その直線と$l(=l')$の交点を$A''$とすれば，
$\{A,B,C,D\}\stackrel{A'}{\doublebarwedge}\{A'',B'',C'',D''\} \stackrel{A}{\doublebarwedge}\{A',B',C',D'\}$
である．したがって証明された．

定理と同じようにPappusの定理も配景写像の性質を用いて証明できます．
定理(Pappus)
直線$l$上に3点$A,B,C$，直線$m$上に３点$A',B',C'$がある．
$AB',A'B$の交点を$P$,$AC',A'C$の交点を$Q$,$BC',B'C$の交点を$R$とすると３点$P,Q,R$ は一直線上にある．

証明
$AR$と$m$の交点を$D'$,$A'R$と$l$の交点を$D$とする．
$\{A,B,C,D\}\stackrel{R}{\doublebarwedge}\{D',C',B',AD'\} $
さらに，複比の性質より
$[D',C';B',A']=[A',B';C',D']$
であるから
$\{A,B,C,D\}\barwedge \{A',B',C',D'\}$
したがって
$\{AA',AB',AC',AD'\}\barwedge \{A'A,A'B,A'C,A'D\}$
$AA'$が共通であるから3点$P,Q,R$は一直線上にある．

4.射影変換と対合変換

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