ここでは１次元の射影写像を考える．
射影平面における１次元の射影写像の定義は次の通りである．
定義
射影平面における射影直線(直線または直線束)間の１対１の対応で複比を保つものを １次元の射影写像という．

まず，直線間の射影写像を考える．
２直線$h,h'$間の射影写像
$f:h\to h'$
を，$h,h'$のそれぞれに射影座標系を定め，射影座標を用いて表す.
射影写像$f$は直線$h$上の任意の異なる3点$A(a),B(b),C(c)$に対して，それぞれ直線$h'$ 上の任意の異なる3点$A'(a'),B'(b'),C'(c')$に対応するときの
$[A(a),B(b);C(c),P(p)]=[A'(a'),B'(b');C'(c'),P'(p')]$を満たす
$f:h\to h';P(p)\mapsto P(p')$
によって定まる．
$p,p'$の関係を調べる．
$A,B,C,P$の$h$の射影座標系の斉次座標を
$a=(a_1,a_2),b=(b_1,b_2),c=(c_1,c_2),p=(x,y)$
$A',B',C',P'$の$h'$の射影座標系の斉次座標を
$a'=(a_1',a_2'),b'=(b_1',b_2'),c'=(c_1',c_2'),p'=(x',y')$
とする．
$[a,b;c,p]=[a',b';c,p']$
斉次座標で表せば，
$\dfrac{\begin{vmatrix}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}b_1&x\\b_2&y\end{vmatrix}} {\begin{vmatrix}b_1&c_1\\b_2&c_2\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}a_1&x\\a_2&y\end{vmatrix}} = \dfrac{\begin{vmatrix}a_1'&c_1'\\a_2'&c_2'\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}b_1'&x'\\b_2'&y'\end{vmatrix}} {\begin{vmatrix}b_1'&c_1'\\b_2'&c_2'\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}a_1'&x'\\a_2'&y'\end{vmatrix}} $
両辺の$x,y,x',y'$と関係ない部分をまとめて$k$として
$\dfrac{k(b_1y-b_2x)}{a_1y-a_2x}=\dfrac{b_1'y'-b_2'x'}{a_1'y'-a_2'x'}$
より
$\dfrac{a_1y-a_2x}{a_1'y'-a_2'x'} =\dfrac{k(b_1y-b_2x)}{b_1'y'-b_2'x'}=\alpha$
したがって
$\begin{cases}\alpha (a_1'y'-a_2'x')=a_1y-a_2x\\ \alpha (b_1'y'-b_2'x')=kb_1y-kb_2x\end{cases}$
行列表記すると
$\alpha \begin{pmatrix}a_1'&-a_2'\\b_1'&-b_2'\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y'\\x'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a_1&-a_2\\kb_1&-kb_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y\\x\end{pmatrix}$
$\begin{vmatrix}a_1'&a_2'\\b_1'&b_2'\end{vmatrix}\neq 0,\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}\neq 0$ であるから，
$\begin{pmatrix}a_1'&-a_2'\\b_1'&-b_2'\end{pmatrix}$
の逆行列を左からかけ，行を交換し,行列を書き換えて
$\alpha \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\cdots (\sharp)$
をえる．ただし，
$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\neq 0$
である．
逆に，直線から直線への写像が，射影座標を用いて表した時$(\sharp)$を満たすとき，
$\det AB=\det A\det B$
であるから，
$T=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$
とおくと $[A',B';C',D']=\dfrac{|Ta \ \ Tc|}{|Tb \ \ Tc|}\cdot \dfrac{|Tb \ \ Td|}{|Ta \ \ Td|}=[A,B;C,D]$
であるから射影写像である．

まとめると次のようになる．
命題 射影平面における直線から直線への変換
$f:h\to h'$ を$h,h'$の射影座標系を用いて表すと，
$f$が射影写像なら，
$(x,y)\mapsto (x',y')$
は，ある逆行列をもつ行列
$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$
を用いて
$\alpha \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
と表せ，逆も成り立つ．

ここで述べたのは直線間の射影変換であるが，議論の内容は複比を射影座標で表し変形することであり， これは直線束でも同様に議論できるので直線束でも成り立つことがわかる．

次に，射影写像を非斉次座標で表そう．
なお，アフィン平面の非斉次座標は
$(x,y,z)=(\frac{x}{z},\frac{y}{z},1)$
より$(\frac{x}{z},\frac{y}{z},1)$であることにならい，
射影直線の斉次座標$(x,y)$すなわち
$xa+yb=\frac{x}{y}a+b$
の非斉次座標は$\frac{x}{y}$である．斉次座標$(1,0)$の非斉次座標は$\infty$ で$\infty$もほかの数と扱いで区別しない．それが射影平面や射影直線の目的の一つであった．

$\begin{cases}\alpha x'=ax+by\\ \alpha y'=cx+dy\end{cases}$
より
$\dfrac{x'}{y'}=\dfrac{ax+by}{cx+dy}=\dfrac{a\frac{x}{y}+b}{c\frac{x}{y}+d}$
ここで
$\dfrac{x'}{y'}=y,\dfrac{x}{y}=x$と置き換えれば
$y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$
このように，１次元の射影写像を非斉次座標で表すと１次分数変換になることがわかる．
１次元の射影写像は，３点の像で決まるが，１次分数変換も
$a:b:c:d$
で決まるから，３点の像で唯一つに決まることが分かり一致する．
したがって，３点を動かさなければその射影写像は恒等変換である．

射影写像を求めるとき， ３点が$1,0,\infty$にうつる１次分数変換をしばしば利用する．
$a\mapsto 1,b\mapsto 0,c\mapsto \infty$
の１次分数変換は
$y=\dfrac{x-b}{x-c}\cdot \dfrac{a-c}{a-b}$
である．もし，$a,b,c$のうち$\infty$があるときは$\infty$で約分する．たとえば $b=\infty$のとき
$y=\dfrac{x-\infty}{x-c}\cdot \dfrac{a-c}{a-\infty}=\dfrac{a-c}{x-c}$
とする．実際この関数は
$a\mapsto 1,\infty \mapsto 0,c\mapsto \infty$
である．
この関数を用い，
$a\mapsto a',b\mapsto b',c\mapsto c'$
を満たす１次分数変換は
$a\mapsto 1,b\mapsto 0,c\mapsto \infty$
である１次分数変換を$y=f(x)$,
$a'\mapsto 1,b'\mapsto 0,c'\mapsto \infty$
である１次分数変換を$y=g(x)$とすると
1次分数変換の逆関数や合成は１次分数変換で
$g^{-1}\circ f:\{a,b,c\}\mapsto \{1,0,\infty \}\mapsto \{a',b',c'\}$
より，
$y=g^{-1}\circ f(x)$
が求めるものである．
すなわち
$f(x)=g(y)$
を$y$について解くことにより得られる．

例
直線$h$から直線$h'$への射影写像で$h$上の射影座標が$(1,0),(-1,1),(2,1)$ である３点の像がそれぞれ$(0,1),(1,2),(4,1)$であるとき，この射影写像を求めよう．
解１
まず，基本に従い
$k\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
すなわち
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\parallel \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
を用いて求める．
$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\parallel \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\parallel \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\parallel \begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$
これらの式より
$a=0,2(-a+b)=-c+d,4(2c+d)=2a+b$
$\therefore a:b:c:d=0:12:-7:17$
したがって，求める射影写像は
$k\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&12\\-7&17\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
である．
解2
$(1,0),(-1,1),(2,1)$の非斉次座標は$\infty ,-1,2$であり，$(0,1),(1,2),(4,1)$の非斉次座標は$0,\frac{1}{2},4$である．
ともに，$1,0,\infty$への１次分数変換をかんがえ
$f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}\cdot \dfrac{\infty -2}{\infty +1}=\dfrac{x+1}{x-2}$
$g(y)=\dfrac{y-\frac{1}{2}}{y-4}\cdot \dfrac{0-4}{0-\frac{1}{2}}=\dfrac{8y-4}{y-4}$
$f(x)=g(y)$を$y$について解くと
$y=\dfrac{12}{-7x+17}$
である．

解3
定義である複比を保つを用いれば
$[\infty ,-1;2,x]=[0,\frac{1}{2};4,y]$
$[\infty ,-1;2,x]=\dfrac{x+1}{3}$
$[0,\frac{1}{2};4,y]=\dfrac{8y-4}{7y}$
したがって
$y=\dfrac{12}{-7x+17}$


3.配景写像と射影写像の関係

射影幾何の目次


全体の目次