§1.配景写像 
今までは，射影平面を点をもとにして，
射影平面上の図形は点の軌跡としてとらえました．射影平面は，直線をもとに扱うこともできます．このときは，点はその点を通る直線全体で表し， 曲線は，その曲線の包絡線全体で表します． ここで，射影平面における直線の復習をしておきましょう． 射影平面における直線$l$が $ax+by+cz=0$ のとき，$l$の斉次座標は$(a,b,c)$です．ただし，$a,b,c$は同時に$0$になることはない． なお，$(ka,kb,kc)$は同じ直線を表している． 
３本の直線$a_1x+b_1y+c_1z=0,$ $a_2x+b_2y+c_2z=0,$ $a_3x+b_3y+c_3z=0$ が同じ点を通るための条件は 同時には$0$でない共通の解$(x_0,y_0,z_0)$が存在することであるから $\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_0\\y_0\\z_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ すなわち $\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}=0 \ \cdots (1)$ したがって，点$(x_0,y_0,z_0)$を通る２本の直線を $a_1x+b_1y+c_1z=0,a_2x+b_2y+c_2z=0$ とすると，$(x_0,y_0,z_0)$を通る任意の直線 $a_3x+b_3y+c_3z=0$ は$(1)$より $(a_3,b_3,c_3)=\alpha (a_1,a_2,a_3)+\beta (b_1,b_2,b_3)$ と表せる． このように，直線をもとにしても， 点をもとにした場合と同じように扱える． 点を与えたとき，点を通る直線全体を点の直線束といい，点を直線束の中心という． 射影平面における直線(点の集合)と直線束（直線の集合）は同じように扱い， ともに射影直線と呼ぶ． 線束は構成する直線は$l,m,n,p,\cdots $のように小文字を用いて， 中心$O$の線束を$O\{l,m,n,p,\cdots \}$または$\{l,m,n,p,\cdots \}$と表す． 直線を構成する点は$A,B,C,D,\cdots $のように大文字を用いて，直線$h$を$h\{A,B,C,D,\cdots \}$または $\{A,B,C,D,\cdots \}$と表す． 以後，特別な注意がない限り，点はアルファベットの大文字，その斉次座標は 小文字を用い，成分は添え字をつけ次のように表記する． 点$A(a),a=(a_1,a_2,a_3)$ 直線はアルファベットの小文字でその斉次座標はその大文字．成分は添え字をつける．すなわち 直線$l(L),L=(L_1,L_2,L_3)$と表記する． 後で，注意するが，射影変換を考えるとき，点は列ベクトル，直線は行ベクトルを用いると便利である． 
直線束の複比を定義する．１つの線束に属する4本の直線$l(L),m(M),n(N),p(P)$について， $N=\alpha _1L+\alpha _2M,P=\beta _1L+\beta _2M$ のとき，複比$[l,m;n,p]$を $[l,m;n,p]=\dfrac{\alpha _2}{\alpha _1}\cdot \dfrac{\beta _1}{\beta _2}$ によって定義する．この値を$l,m$を基線とする分線$n,p$の複比という． さらに $[l,m;n,p]=-1$ のとき，４直線$l,m;n,p$は調和線列をなすという． これから射影平面における変換，すなわち射影平面から射影平面へのある条件を満たす写像を扱います． 先ず，１次元の場合すなわち射影直線（直線または直線束）から射影直線への写像からはじめます． 中心が$O$の線束と$O$を通らない直線$h$が与えられたとき，線束の直線$l$に 直線$h$上の点$l\times h$が対応する． すなわち $l\mapsto A=l\times h,m\mapsto B=m\times h,n\mapsto C=n\times h,p\mapsto D=p\times h$ のとき，この線束から直線$h$への対応を切断といい，この写像を$O$を中心とする配景写像という(右下図)． 配景写像を $O\{l,m,n,p\}\doublebarwedge h\{A,B,C,D\}$ または，配景の中心を配景記号の上に記し $O\{l,m,n,p\}\stackrel{O}{\doublebarwedge} h\{A,B,C,D\}$ と表す． 
次の命題がこれからの議論の基になる． 命題 配景写像 $O\{l,m,n,p\}\stackrel{O}{\doublebarwedge} h\{A,B,C,D\}$ は複比を保つ．すなわち $[l,m;n,p]=[A,B;C,D]$ が成り立つ． 証明 $l(L),m(M),n(N),p(P),h(H),A(a),B(b),C(c),D(d))$とする．$l,m$を基線として，$n,p$が $N=\alpha L+\beta M$ $P=\gamma L+\delta M$ のとき $a=L\times H,b=M\times H,c=N\times H,d=P\times H$ であり， $c=(\alpha L+\beta M)\times H,d=(\gamma L+\delta M)\times H$ より， $c=\alpha a+\beta b,d=\gamma a+\delta b$ したがって， $[l,m;n,p]=[A,B;C,D]$ が成り立つ． 
中心が$O$の線束と$O$を通らない直線$h$が与えられたとき，
$h$上の点$A$に線束の直線$l=A\times O$が対応する．
この直線上の点の線束の直線への対応を射影という．
この写像も配景写像という．上の証明からわかるように，この配景写像も複比を保つ． そして $h\{A,\cdots \}\doublebarwedge O\{l,\cdots \}$ または，配景の中心を配景記号の上に記し $h\{A,\cdots \}\stackrel{O}{\doublebarwedge} O\{l,\cdots\}$ と表す． 
直線と線束間の配景写像を定義したが，２直線間の配景写像， ２つの線束間の配景写像も定義できる． 定義 $O$を中心とする線束に２直線$h,h'$が交わるとき， $h,h'$の線束の同じ直線の切断を対応させる写像を$O$を中心とする配景写像という． 右図の配景写像を $h\{A,B,C,D\}\stackrel{O}{\doublebarwedge} h'\{A',B',C',D'\}$ と表す．なお，直線を表す$h,h'$や配景の中心の$O$はしばしば省略される． 
定義２つの線束と２つの線束のそれぞれの中心を通らない直線$h$があり， $h$の同じ点で交わることで定めた２つの線束間の写像を配景写像といい， 直線$h$をこの配景写像の軸または配景軸という． この配景写像を $O\{l,m,n,p\}\stackrel{h}{\doublebarwedge} O'\{l',m',n',p'\}$ と表す．なお，線束の中心である$O,O'$や配景の軸である$h$はしばしば省略される． ここで定義した，直線間の配景写像，線束間の配景写像は複比を保つ． 実際，線束間の写像について述べると． $O\{l,m,n,p\}\stackrel{h}{\doublebarwedge} O'\{l',m',n',p'\}$ のとき， $[l,m;n,p]=[A,B;C,D]=[l',m';n',p']$ から分かる． 2.射影直線の射影写像 射影幾何の目次 全体の目次 |