射影平面上のどの３点も一直線上にない４点と，それらの２点を通る６直線からなら図形を完全四角形という．
ここでは，完全四角形の性質を調べる．
完全四角形を構成する４点を頂点，2頂点を結ぶ６本の直線を辺という．
頂点を$A,B,C,D$とする．共通の頂点を持たない２辺を対辺という．2直線$AB,CD$， ２直線$AC,BD$,２直線$AD,BC$が対辺であり，対辺は３組ある．
対辺の交点を対角点,対角点を結ぶ直線を対角線という．対角点は３点，対角線は3本ある．

命題1
完全四角形の３つの対角点は同一線上にない．
命題
完全四角形を$ABCD$とし，
$P=(A\times B)\times (C\times D),$
$Q=(A\times C)\times (B\times D),$
$R=(A\times D)\times (B\times C)$
とする．
なおここで$A\times B$は２点$A,B$を結ぶ直線であり，$(A\times B)\times (C\times D)$は２直線$AB,CD$ の交点である．
$[A,B,C;D]$を射影座標系として，$P,Q,R$の座標を求める．
$A(1,0,0),B(0,1,0),$
$C(0,0,1),D(1,1,1)$
より順に計算すると
$A\times B=(0,0,1),A\times C=(0,1,0),$
$A\times D=(0,1,-1),B\times C=(1,0,0),$
$B\times D=(1,0,-1),C\times D=(1,-1,0)$
したがって
$P(1,1,0),Q(1,0,1),R(0,1,1)$
行列式を計算して，$P,Q,R$は一直線上にないことがわかる．$\blacksquare$

完全四角形の３個の対角点よりなる三角形を対角三角形という．
対角三角形では次が 成り立つ．
完全四角形の辺上，対角線上に調和点列が現れる．
命題2
$(1) \ $完全四角形の辺上の2頂点，辺上の対角点，残りの対角点の定める対角線と辺の交点は調和点列をなす．
$(2) \ $完全四角形の対角線上の2つの対角点，残りの対角点を通る2辺と対角線の交点は調和点列をなす．
証明
右図で四角形$ABCD$とその対角三角形$\triangle PQR$上に調和点列が現れるという意味．
$PR$と$BC,AD$との交点をそれぞれ$S,T$とする．
$P$を射影の中心とすれば
$[B,C;S,Q]=[U,V;R,Q]$
$=[A,D;T,Q]$
である．
$R$を射影の中心とすれば
$[A,D;T,Q]=[C,B;S,Q]$
したがって，
$[B,C;S,Q]=[C,B;S,Q]$
$[B,C;S,Q]=t$とおけば
$t=\dfrac{1}{t}$
$t=\pm 1$
$B,C,S,Q$は異なる4点であるから$t\neq 1$
したがって，
$[B,C;S,Q]=-1$
他の辺，対角線上も同様．$\blacksquare$

命題2は，一直線上に３点を与えたときの， 調和点列をなす第４点(これを第４調和点という)を求める方法を示している．
実際，直線$BC$上に点$W$が与えられているとき第４調和点は次のよう求めればよい．
1.直線外に１点$P$をとき，$\triangle PBC$を作る．
2,線分$PW$上に１点$Q$をとり，$BQ,PC$の交点を$D$,$CQ,PB$の交点を$A$
3.$AD$と$BC$の交点$R$が求める点である．


例題
平面上に線分$AB$と領域$X$が右図のように与えられている．
定規が$X$の中を横切らないようにかつ定規だけを用いて線分$AB$を$X$の右側に延長せよ．
解
線分$AB$上に点$C$を取り，$A,B;C,D$が調和共役となる点$D$を定規を用いて求めればよい．
右図は1点だけ求めているが，もう1点求め直線を引けばよい．

ここで述べた内容は，直線を引くだけ，すなわち長さや角度を用いないことに注目すべきです．

なお，第４調和点をみつけるのに，長さや角を用いることが出来るなら， すなわちユークリッド幾何では，
$P$を$PB:PC=BW:WC$であるようにとり，$P$を通り$PW$と垂直な直線と$BC$との交点として第４調和点が求められる．
もし，直線$BC$が引けなければ，もう一つ$P'$を作り$P'$を通る$NP'$に垂直な直線を引き交点を求めればよい．

2章§5で射影座標を用いると，図形的性質の証明が単純な計算になることが少なくないと述べた．射影幾何では複比の計算が付きまといます．
ここで，射影座標における複比の基本事項をまとめておく．

直線$l$上に点$A(\boldsymbol{a}),B(\boldsymbol{b})$がある．
直線$l$上の点$P(\boldsymbol{p}),Q(\boldsymbol{q})$に対して
$\boldsymbol{p}=s\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}$
$\boldsymbol{q}=u\boldsymbol{a}+v\boldsymbol{b}$
のとき，複比$[A,B;P,Q]$は
$[A,B;P,Q]=\dfrac{\frac{t}{s}}{\frac{v}{u}}=\dfrac{t}{s}\cdot \dfrac{u}{v}$
である(定義)．
したがって
$\boldsymbol{p}=s\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$
$\boldsymbol{q}=u\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$
のとき(非斉次表示)
$[A,B;P,Q]=\dfrac{u}{s}$
である．
直線$l$上の点$P_i(\boldsymbol{p_i})$について
$\boldsymbol{p_i}=s_i\boldsymbol{a}+t_i\boldsymbol{b}$
のとき，複比$[P_1,P_2;P_3,P_4]$は
$[P_1,P_2;P_3,P_4]=\dfrac{\begin{vmatrix}s_1&s_3\\t_1&t_3\end{vmatrix}} {\begin{vmatrix}s_2&s_3\\t_2&t_3\end{vmatrix}}\cdot \dfrac{\begin{vmatrix}s_2&s_4\\t_2&t_4\end{vmatrix}} {\begin{vmatrix}s_1&s_4\\t_1&t_4\end{vmatrix}}\cdots (*)$
なお，ここで$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$をそれぞれ$k\boldsymbol{a},l\boldsymbol{b}$で置き換えても複比は変わらない．
特に$(*)$で$t_i=1$のとき
$[P_1,P_2;P_3,P_4]=\dfrac{s_1-s_3}{s_2-s_3}\cdot \dfrac{s_2-s_4}{s_1-s_4}$
である．

射影座標系
$[A(\boldsymbol{a}),B(\boldsymbol{b}),C(\boldsymbol{c});D(\boldsymbol{d})]$
における$P(x,y,z)$と座標軸との関係を調べよう．射影幾何を学ぶときの土台となる事柄で射影変換で同じ図形が現れる．
$A(1,0,0),B(0,1,0),$
$C(0,0,1),D(1,1,1)$
であり，$AD,AP$と$BC$との交点をそれぞれ$A_1,P_1$とすれば
$A_1(0,1,1),P_1(0,y,z)$
したがって，
$A_1(\boldsymbol{a}_1),P_1(\boldsymbol{p}_1)$
とおくと
$\boldsymbol{a}_1=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$
$\boldsymbol{p}_1=y\boldsymbol{b}+z\boldsymbol{c}$
したがって，
$[B,C;A_1,P_1]=\dfrac{y}{z}$
である．すなわち，直線$BC$上の射影座標系$[B,C;A_1]$における点$P_1$ の非斉次座標は複比$[B,C;A_1,P_1]$である．

1.配景写像

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