射影平面上のどの３点も一直線上にない４点と，それらの２点を通る６直線からなら図形を完全四角形という．
ここでは，完全四角形の性質を調べる．
完全四角形を構成する４点を頂点，６本の直線を辺という．
頂点を$A,B,C,D$とする．共通の頂点を持たない２辺を対辺という．2直線$AB,CD$， ２直線$AC,BD$,２直線$AD,BC$が対辺であり，対辺は３組ある．
対辺の交点を対角点という．対角点は３点ある．

命題1
完全四角形の３つの対角点は同一線上にない．
命題
完全四角形を$ABCD$とし，
$P=(A\times B)\times (C\times D),$
$Q=(A\times C)\times (B\times D),$
$R=(A\times D)\times (B\times C)$
とする．
なおここで$A\times B$は２点$A,B$を結ぶ直線であり，$(A\times B)\times (C\times D)$は２直線$AB,CD$ の交点である．
$[A,B,C;D]$を射影座標系として，$P,Q,R$の座標を求める．
$A(1,0,0),B(0,1,0),$
$C(0,0,1),D(1,1,1)$
より順に計算すると
$A\times B=(0,0,1),A\times C=(0,1,0),$
$A\times D=(0,1,-1),B\times C=(1,0,0),$
$B\times D=(1,0,-1),C\times D=(1,-1,0)$
したがって
$P(1,1,0),Q(1,0,1),R(0,1,1)$
行列式を計算して，$P,Q,R$は一直線上にないことがわかる．

完全四角形の３個の対角点よりなる三角形を対角三角形という．対角三角形の辺を対角線という．
対角三角形では次が 成り立つ．
命題2
完全四角形の対角三角形の一辺上で， 対角三角形の２頂点とこの２頂点を通らない完全四角形の辺との ２交点は調和点列をなす．

証明
命題の意味が分かりづらいが，
完全四角形$ABCD$の対角点を$P,Q,R$とする．
直線$PQ$を考える．$P,Q$を通らない辺は$AD,BC$だけである．
$PQ$と$AD,BC$との交点をそれぞれ$U,W$とすれば，４点$P,Q;U,W$は調和点列をなす
という意味です．
右図は，命題1の図に２点$U,W$を加えたもので，$U,W$の射影座標は
$U(2,1,1),W(0,1,-1)$
となる．
$P(1,1,0),Q(1,0,1)$
で
$(2,1,1)=(1,1,0)+(1,0,1),$
$(0,1,-1)=(1,1,0)-(1,0,1)$
より$P,Q;U,W$は
$[P,Q;U,W]=-1$
であるから調和点列をなす．

完全四角形の右上図を見ると，至る所に調和点列が現れることが分かります，たとえば, 辺$BC$上の$B,C,W,R$も調和点列です．
実際
$(0,1,-1)=(0,1,0)-(0,0,1),(0,1,1)=(0,1,0)+(0,0,1)$
が成り立つ．
なお，次の章で学ぶ配景写像を用いればつぎのように見ることもできる．
$P$を中心とする配景写像を考え
$[B,C;W,R]=[A,D;U,R]$
$Q$を中心とする配景写像を考え
$[A,D;U,R]=[C,B;W,R]$
したがって，
$[B,C;W,R]=[C,B;W,R]=x$
$x=\dfrac{1}{x}$
$x=\pm 1$
$B,C,W,R$は共通点がないから，すなわち複比が$1$でないから
$[B,C;W,R]=-1$
を得る．

これは次のようにまとめることができる．
命題3
完全四角形の一辺上の２頂点$B,C$と辺$BC$上の対角点を$R$とする．辺$BC$と$R$を通らない対角線との交点を$W$ とする．
このとき，$B,C;W,R$は調和点列をなす．

この命題は，一直線上の３点を与えたときの， 調和点列をなす第４点(これを第４調和点という)を求める方法を示している．
実際，直線$BC$上に点$W$が与えられているとき第４調和点は次のよう求めればよい．
1.直線外に１点$P$をとき，$\triangle PBC$を作る．
2,線分$PW$上に１点$Q$をとり，$BQ,PC$の交点を$D$,$CQ,PB$の交点を$A$
3.$AD$と$BC$の交点$R$が求める点である．


例題
平面上に線分$AB$と領域$X$が右図のように与えられている．
定規が$X$の中を横切らないようにかつ定規だけを用いて線分$AB$を$X$の右側に延長せよ．
解
線分$AB$上に点$C$を取り，$A,B;C,D$が調和共役となる点$D$を定規を用いて求めればよい．
右図は1点だけ求めているが，もう1点求め直線を引けばよい．

ここで述べた内容は，直線を引くだけ，すなわち長さや角度を用いないことに注目すべきです．

なお，第４調和点をみつけるのに，長さや角を用いることが出来るなら， すなわちユークリッド幾何では，
$P$を$PB:PC=BW:WC$であるようにとり，$P$を通り$PW$と垂直な直線と$BC$との交点として第４調和点が求められる．
もし，直線$BC$が引けなければ，もう一つ$P'$を作り$P'$を通る$NP'$に垂直な直線を引き交点を求めればよい．

2章§5で射影座標を用いると，図形的性質の証明が単純な計算になることが少なくないと述べた．射影幾何では複比の計算が付きまといます．
ここで，射影座標における複比の基本事項をまとめておく．

直線$l$上に点$A(\boldsymbol{a}),B(\boldsymbol{b})$がある．
直線$l$上の点$P(\boldsymbol{p}),Q(\boldsymbol{q})$に対して
$\boldsymbol{p}=s\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}$
$\boldsymbol{q}=u\boldsymbol{a}+v\boldsymbol{b}$
のとき，複比$[A,B;P,Q]$は
$[A,B;P,Q]=\dfrac{\frac{t}{s}}{\frac{v}{u}}=\dfrac{t}{s}\cdot \dfrac{u}{v}$
である(定義)．
したがって
$\boldsymbol{p}=s\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$
$\boldsymbol{q}=u\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$
のとき(非斉次表示)
$[A,B;P,Q]=\dfrac{u}{s}$
である．
直線$l$上の点$P_i(\boldsymbol{p_i})$について
$\boldsymbol{p_i}=s_i\boldsymbol{a}+t_i\boldsymbol{b}$
のとき，複比$[P_1,P_2;P_3,P_4]$は
$[P_1,P_2;P_3,P_4]=\dfrac{\begin{vmatrix}s_1&s_3\\t_1&t_3\end{vmatrix}} {\begin{vmatrix}s_2&s_3\\t_2&t_3\end{vmatrix}}\cdot \dfrac{\begin{vmatrix}s_2&s_4\\t_2&t_4\end{vmatrix}} {\begin{vmatrix}s_1&s_4\\t_1&t_4\end{vmatrix}}\cdots (*)$
なお，ここで$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$をそれぞれ$k\boldsymbol{a},l\boldsymbol{b}$で置き換えても言い方を変えれば 直線$l$の射影座標系$[A,B;E]$で考えるとき，単位点$E$をどこにとっても複比は変わらない．
特に$(*)$で$t_i=1$のとき
$[P_1,P_2;P_3,P_4]=\dfrac{s_1-s_3}{s_2-s_3}\cdot \dfrac{s_2-s_4}{s_1-s_4}$
である．

射影座標系
$[A(\boldsymbol{a}),B(\boldsymbol{b}),C(\boldsymbol{c});D(\boldsymbol{d})]$
における$P(x,y,z)$と座標軸との関係を調べよう．射影幾何を学ぶときの土台となる事柄で射影変換で同じ図形が現れる．
$A(1,0,0),B(0,1,0),$
$C(0,0,1),D(1,1,1)$
であり，$AD,AP$と$BC$との交点をそれぞれ$A_1,P_1$とすれば
$A_1(0,1,1),P_1(0,y,z)$
したがって，
$A_1(\boldsymbol{a}_1),P_1(\boldsymbol{p}_1)$
とおくと
$\boldsymbol{a}_1=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$
$\boldsymbol{p}_1=y\boldsymbol{b}+z\boldsymbol{c}$
したがって，
$[B,C;A_1,P_1]=\dfrac{y}{z}$
である．すなわち，直線$BC$上の射影座標系$[B,C;A_1]$における点$P_1$ の非斉次座標は複比$[B,C;A_1,P_1]$である．

1.配景写像

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