直線上に４点$A(a),B(b),C(c),D(d)$が与えられたとき，4点の順番を変えたときの複比の値を調べよう．
順列は$4!=24$通りであるから，最大２４通りである．その中で同じ値の場合を調べる．
直線に射影座標系を与え，$A,B,C,D$の非斉次座標をそれぞれ$a,b,c,d$とすると，
$[A,B;C,D]=\dfrac{(c-a)(d-b)}{(c-b)(d-a)}$
であるから，$A,B$を交換または$C,D$を交換すると逆数になる．すなわち
$[B,A;C,D]=[A,B;D;C]=\dfrac{1}{[A,B;C,D]}$
したがって
$[B,A;D,C]=[A,B;C,D]\cdots (\sharp)$
次に$A,C$及び$B,D$同時に入れ替えても複比は変わらない．すなわち
$[C,D;A,B]=[A,B;C,D]$
さらに$(\sharp)$を用いて
$=[D,C;B;A]$
したがって，次の等式を得る．
$[A,B;C,D]=[B,A;D,C]=[C,D;A,B]=[D,C;B,A]$
順番を変えたとき複比の取る値は最大6通りであることが分かった．
具体的に
$[A,B;C,D]=k$のとき，$A,B,C,D$の順番を変えたときどうなるか調べてみよう．
$A,B$または$C,D$を交換すると逆数になり，$[A,B;C,D]=[C,D;A,B]$であるから
$[B,A;C,D]=[A,B;D,C]=[D,C;A,B]=[C,D;B,A]=\dfrac{1}{k}$
がわかる．
次に$B,C$を交換すると
$[A,B;C,D]+[A,C;B,D]=\dfrac{(c-a)(d-b)}{(c-b)(d-a)}+\dfrac{(b-a)(d-c)}{(b-c)(d-a)}=1$
したがって．$k$に対して，
$\dfrac{1}{k},1-k,1-\dfrac{1}{k}(=\dfrac{k-1}{k}),\dfrac{1}{1-k},\dfrac{k}{k-1}$
6つ求まった．
実際
$[A,B;C,D]=k$のとき
$[A,B;C,D]=[B,A;D,C]=[C,D;A;B]=[D,C;B,A]=k$
$[A,B;D,C]=[B,A;C,D]=[D,C;A,B]=[C,D;B,A]=\dfrac{1}{k}$
$[A,C;B,D]=[C,A;D,B]=[B,D;A,C]=[D,B;C,A]=1-k$
$[A,C;D,B]=[C,A;B,D]=[D,B;A,C]=[B,D;C,A]=\dfrac{1}{1-k}$
$[A,D;B,C]=[D,A;C,B]=[B,C;A,D]=[C,B;D,A]=\dfrac{k-1}{k}$
$[A,D;C,B]=[D,A;B,C]=[C,B;A,D]=[B,C;D,A]=\dfrac{k}{k-1}$

一直線上の４点が与えられたとき，その順番を変えれば6通りの複比があるが，その中で一致する場合を調べよう.
$k=\frac{1}{k}$のとき$k=\pm 1$
$k=1-k$のとき$k=\frac{1}{2}$
$k=\frac{1}{1-k}$および$k=\frac{k-1}{k}$のときは存在しない.
$k=\frac{k}{k-1}$のとき$k=0,2$
したがって，6通りの複比のうち一致するのがあるのは
$k=1,-1,\dfrac{1}{2},0,2$
のときである．
$k=1$のとき，$A(a),B(b),C(c),D(d)$において
$c=\alpha a+b$
$d=\gamma a+b$
のとき
$\dfrac{\gamma}{\alpha }=1$
したがって，$C,D$は一致する．
$k=1$のとき$\frac{1}{k}=1,1-k=0,\frac{1}{1-k}=\infty,\frac{k-1}{k}=0,\frac{k}{k-1}=\infty$
であるから，
4点のうち２点が一致すれば，その複比は$1,0,\infty$のいずれかであり，逆に複比が$1,0,\infty$のいずれかであれば ４点のうち一致する２点がある．なお，３点が一致する場合は考えない．
４点がすべて異なるとき，６通りの複比のうち一致するのがあるのは
$k=-1,2,\dfrac{1}{2}$
のときである．
一方，$k=-1$のとき
$1-k=2,\dfrac{1}{1-k}=\dfrac{1}{2}$
であるから，４点の順番を変えれば
$[A,B;C,D]=-1$
となる．

定義
１直線上の４点$A,B,C,D$が
$[A,B;C,D]=-1$
を満たすとき，4点$A,B;C,D$は調和点列をなすという．また，このとき$C,D$は$A,B$を調和に分けるという．

射影平面では長さの概念がなく，線分の長さの比で定める内分，外分の定義はできない．ここでは，長さの概念があるユークリッド平面で
$[A,B;C,D]=-1$
の意味を確認しよう．
長さの概念があれば
$[A,B;C,D]=\dfrac{AC}{BC}\cdot \dfrac{BD}{AD}$
である．ここで，$AC$等は向きまで考えた線分の長さである ．ベクトル表記した方がいいかもしれないがここではしない．
$[A,B;C,D]=-1$
より
$\dfrac{AC}{BC}\cdot \dfrac{BD}{AD}=\dfrac{AC}{CB}\cdot \dfrac{DB}{AD}=-1$
であるから
$C,D$は線分$AB$を同じ比に内分，外分する点である．
$A$を原点にとり，$B(b),C(c),D(d)$とすると
$\dfrac{c}{b-c}\cdot \dfrac{b-d}{d}=-1$
より
$\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$
したがって，$AC,AB,AD$はこの順に調和数列をなす．

$\triangle PAB$で$PA:PB=m:n$のとき，線分$AB$を$m:n$に内分，外分する点をそれぞれ$C,D$ とすると$PC,PD$はそれぞれ$\angle A$の内角，外角の二等分線である．
したがって，$\angle CPD=\frac{\pi}{2}$.すなわち，$P$は線分$CD$を直径とする 円周上にある．これはアポロニウスの定理である．


3.完全四角形


2.平行射影とアフィン幾何

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