projectivegeometry

§3.射影平面

中心射影で定義できない点が存在することを解消するため無限遠点，無限遠直線を導入し拡大アフィン平面を考えました．
標題の射影平面とは拡大アフィン平面のことです．

これから，拡大アフィン平面すなわち射影平面に座標系を導入します．
まず，斉次アフィン座標を見直しましょう．
点$P$の斉次座標が$(x_0,y_0,z_0)$のとき
$(x_0,y_0,z_0)=x_0(1,0,0)+y_0(0,1,0)+z_0(0,0,1)$
である．$(1,0,0)$は$x$軸上の無限遠点で$e_{x\infty}$, $(0,1,0)$は$y$軸上の無限遠点で$e_{y\infty}$，$(0,0,1)$は原点で$e_O$と表すと
$(x_0,y_0,z_0)=x_0e_{x\infty}+y_0e_{y\infty}+z_0e_O \ \cdots (1)$
となる．
したがって，$[e_{x\infty},e_{y\infty},e_O]$を座標系に取り点を$(1)$の形で表せば，使い慣れたベクトル空間と同じで便利であるが，問題点があります．
それは，それぞれの$e_{x\infty},e_{y\infty},e_O$の斉次座標での表し方は一通りでないことです．
たとえば，
$e_{x\infty}=(k_1,0,0),e_{y\infty}=(0,k_2,0),e_O=(0,0,k_3) \ \cdots (2)$
とすると
$(x_0,y_0,z_0)=\dfrac{x_0}{k_1}e_{x\infty}+\dfrac{y_0}{k_2}e_{y\infty} +\dfrac{z_0}{k_3}e_O$
このように表示は定まりません．
この問題を解決しなければなりません．
$e_{x\infty},e_{y\infty},e_O$の斉次座標を考えれば分かるように
$e_{x\infty}+e_{y\infty}+e_O$
はすべての点を表すことができる．$(\because (2)$を見ればよい$)$
そこで$e_{x\infty},e_{y\infty},e_O,e$のどの３点も１直線上にないように点$e$をとり
$e_{x\infty}+e_{y\infty}+e_O=e$
により$e_{x\infty},e_{y\infty},e_O$の斉次座標を定める．
たとえば,
$e=(2,3,4)$なら$e_{x\infty}=(2,0,0),e_{y\infty}=(0,3,0),e_O=(0,0,4)$
であり，
$e=(2k,3k,4k)$なら$e_{x\infty}=(2k,0,0),e_{y\infty}=(0,3k,0),e_O=(0,0,4k)$
である．
すなわち，$e_{x\infty}+e_{y\infty}+e_O$を定めれば，$e_{x\infty},e_{y\infty},e_O$の斉次座標が制限され問題が解決します．
実際，任意の点$p=(p_1,p_2,p_3)$は
$e=(2,3,4)$のとき
$p=\dfrac{p_1}{2}e_{x\infty}+\dfrac{p_2}{3}e_{y\infty}+\dfrac{p_4}{4}e_0$
より
$p(\dfrac{p_1}{2},\dfrac{p_2}{3},\dfrac{p_3}{4})$
であり，$e$の斉次座標を
$e=(2k,3k,4k)$
とするなら
$p(\dfrac{p_1}{2k},\dfrac{p_2}{3k},\dfrac{p_3}{4k})$
となり，$(\dfrac{p_1}{2},\dfrac{p_2}{3},\dfrac{p_3}{4})$と$(\dfrac{p_1}{2k},\dfrac{p_2}{3k},\dfrac{p_3}{4k})$は同じ斉次座標である．
まとめると，３点$e_{x\infty},e_{y\infty},e_O$および$e_{x\infty}+e_{y\infty}+e_O$ を定めれば，$e_{x\infty},e_{y\infty},e_O$の斉次座標が定まり，平面上の点$P$が
$xe_{x\infty}+ye_{y\infty}+ze_O$
と表せ，$P$の斉次座標を$(x,y,z)$とできる．
アフィン座標系は原点をどこにとってもよく，$x$軸，$y$軸は平行でなければどのようにとっても良いから，斉次アフィン座標は次の座標系による座標である．
無限遠点を２点$e_{x\infty},e_{y\infty}$,普通点$e_O$および普通点$e=(1,1,1)$をとり，
$e_{x\infty}+e_{y\infty}+e_O=e$
を満たす座標系を$\sigma =[e_{x\infty},e_{y\infty},e_O;e]$と表し座標系$\sigma$を斉次アフィン座標系という．

さて，斉次アフィン座標系では無限遠点とそれ以外の点である普通点（有限点）は区別できます，それは$z$成分を見ればすぐわかります．一方，後で述べますが，射影平面の定義は，点に無限遠点と普通点の区別はありません．ですから，無限点と普通点が区別できる斉次アフィン座標を射影座標というには問題があります．これからこの問題を解決します．

斉次アフィン座標系$[e_{x\infty},e_{y\infty},e_O;e]$の$e_{x\infty},e_{y\infty},e_O$はそれぞれ$x$軸上の無限遠点，$y$軸上の無限遠点，原点ですが，この３点がどこであっても一直線上になければ(1次独立であれば)点を定めることができます．そこで新しい座標系を次のように作ります．
4点$e_1,e_2,e_3$および$e$は，いずれの３点も同一直線上にない．
このとき，$e_1,e_2,e_3,e$の間に
$e=e_1+e_2+e_3$
の関係を持たせれば，$e_1,e_2,e_3,e$により斉次座標系$\sigma=[e_1,e_2,e_3;e]$が定まり，平面上の任意の点$P(p)$に対して
$p=xe_1+ye_2+ze_3$
となる実数の組$(x,y,z)$が定数倍を除き一通りに定まる．
このように作った斉次座標系$\sigma=[e_1,e_2,e_3;e]$を射影座標系といい，$(x,y,z)$を射影座標系$\sigma$の射影座標という．
$e_1,e_2,e_3$をこの射影座標系$\sigma$の基本点，$e$を単位点という．
射影座標系$[e_1,e_2,e_3;e]$における，基本点$e_1,e_2,e_3$,単位点$e$ 射影座標は
$e_1(1,0,0),e_2(0,1,0),e_3(0,0,1),e(1,1,1)$
である．

射影座標系では，無限遠点とそれ以外の点(普通点または有限点という)が区別されないことに注意しよう．

例
斉次アフィン座標において$A,B,C,E$のアフィン座標が
$A(1,2,3),B(2,3,1),C(3,4,5),E(5,9,4)$とする．
このとき，射影座標系$[A,B,C;E]$について考える．この座標系における３点 $A,B,C$の斉次座標を求める．
$k(1,2,3)+l(2,3,1)+m(3,4,5)=t(5,9,4)$
であるから，
$\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&1&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k\\l\\m \end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}5\\9\\4\end{pmatrix}$
を解けば解の１つとして
$k=2,l=3,m=-1,t=1$
をえる．したがって，この射影座標系における$A,B,C$の斉次アフィン座標は
$A(2,4,6),B(6,9,3),C(-3,-4,-5)$
たとえば，点$D(2,5,-1)$のこの射影座標系の射影座標は
$1(2,4,6)+1(6,9,3)+2(-3,-4,-5)=(2,5,-1)$
であるから$D(1,1,2)$である．

射影座標系は分かりづらい．この例で再度説明する．
$\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}, \boldsymbol{c}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}$
とおく．
斉次アフィン座標系のもと，1直線上にない3点$A(\boldsymbol{a}),B(\boldsymbol{b}),C(\boldsymbol{c})$ を定めてもそれを座標系にすることはできない．すなわち $[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]$を座標系にすることはできない．
それは，$\boldsymbol{a}$は$k\boldsymbol{a}$ともかけるからで，例えば$(6,9,9)$を表そうとすると
$\begin{pmatrix}6\\9\\9\end{pmatrix}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$
$=k\dfrac{\boldsymbol{a}}{k}+l\dfrac{\boldsymbol{b}}{l}+m\dfrac{\boldsymbol{b}}{m}$
より，$(1,1,1)$だけでなく，$k,l,m$は任意であるから，どのような座標表示も可能になるからです．
これを解決するために第4点をもちいるのです．
$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$は一次独立であるから，任意のベクトル$\boldsymbol{e}$ に対して
$k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b}+m\boldsymbol{c}=\boldsymbol{e}$
を満たす$k,l,m$が存在する．
任意の点$E(\boldsymbol{e})$を$A,B,C,E$どの3点も同一直線上にないように（一次独立）とり
$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{e}$
を満たすように斉次座標を定めるのです．
ここでは
$\boldsymbol{e}=\begin{pmatrix}5\\9\\4\end{pmatrix}$
を取りました．
$2\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}-1\boldsymbol{c}=\boldsymbol{e}\cdots (*)$
より $\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}, \boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}6\\9\\3\end{pmatrix}, \boldsymbol{c}=\begin{pmatrix}-3\\-4\\-5\end{pmatrix}, \boldsymbol{d}=\begin{pmatrix}5\\9\\4\end{pmatrix}$
と確定する．
例えば，$\boldsymbol{a}$の斉次座標が$k$倍されれば$(*)$より，ほかの点の斉次座標も$k$倍される．
なお，斉次アフィン座標
$A(1,2,3),B(2,3,1),C(3,4,5),E(5,9,4)$
のアフィン座標は
$A(\frac{1}{3},\frac{2}{3}),B(2,3),C(\frac{3}{5},\frac{4}{5}),E(\frac{5}{4},\frac{9}{4})$
である．
拡大アフィン平面上のどの３点も直線上にない４点$A,B,C,E$を与えれば，射影座標系$[A,B,C;E]$が定まる．この座標系のもとでは， $A,B,C,E$の射影座標はそれぞれ
$A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),E(1,1,1)$
である．さらに，無限遠点，無限遠直線を含んでいるので，交わるかどうかの場合分けも必要でない，射影平面や射影座標はとても便利です．避けて通るのはもったいない．

射影座標は射影的性質すなわち，共線（3点以上の点が一直線上），共点(3本以上の直線が1点で交わる) を調べるときに便利です．具体的には後で直線の式を学んでから，デザルグの定理，パスカルの定理の証明で用いますが，ここで射影座標の練習をしましょう.
射影座標系$[A,B,C;E]$で
$A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),E(1,1,1)$
より，直線$AB$上の点$P$は
$s(1,0,0)+t(0,1,0)=(s,t,0)$
$t$で割って
$(s,1,0)$
とすることが多い．このとき，点$A$は$s=\infty$とする．
同様に直線$AE$上の点は$Q(1+s,1,1)$または$Q(s,1,1)$
平面上の任意の点$X(x_0,y_0,z_0)$に対して，直線$AX$上の点は$R(x_0+s,y_0,z_0)$または$R(s,y_0,z_0)$となる．

射影座標系を用いて拡大アフィン平面を扱うとき，拡大アフィン平面を射影平面といいます．
ここまでは，拡大アフィン平面と射影平面は区別していましたが同じことです．ただ，正確には，拡大アフィン平面は射影平面の一つのモデルというべきです．
モデルとは，抽象的概念を理解するための条件を満たす例のことです．
ここで射影平面$P^2$(2次元射影平面)の定義を述べ，拡大アフィン平面との関係を説明する．
射影平面$P^2$とは点と直線よりなる集合で，点，直線は３次元ベクトル空間$V^3$と次の関係がある．
1.$P^2$の点は$V^3$の１次元ベクトル空間と１対１に対応している．
2.$P^2$の直線は$V^3$の２次元ベクトル空間と１対１に対応している．
3.$P^2$の点に対応する$V^3$の１次元ベクトル空間が$P^2$の直線に対応する$V^3$の２次元ベクトル空間に含まれるなら，点と直線は結合していると呼ぶ．
これが射影平面$P^2$の定義です．
射影座標系を用いて拡大アフィン平面$A$を扱うとき，$A$が射影平面の条件を満たすことを示そう．
$A$上の点$P$の射影座標が$\boldsymbol{p}=(p_1,p_2,p_3)$のとき，点$P$は$\boldsymbol{p}$の生成する１次元ベクトル空間$\{t(p_1,p_2,p_3)|t\in \mathbb{R}\}$に対応している．
$A$上の直線$l$上の２点$P(\boldsymbol{p}),Q(\boldsymbol{q})$をとれば， $\boldsymbol{p}(p_1,p_2,p_3),\boldsymbol{q}(q_1,q_2,q_3)$の生成するベクトル空間
$\{t\boldsymbol{p}+s\boldsymbol{q}|t,s\in \mathbb{R}\}$
が$l$に対応している．
点$P$が直線$QR$と結合しているのは，$P(\boldsymbol{p})$が$Q(\boldsymbol{q}),R(\boldsymbol{r})$の１次結合で表せるときで，$p$の生成する１次元ベクトル空間は$q,r$の生成する２次元ベクトル空間に含まれる．
このように，拡大アフィン平面は２次元射影平面$P^2$のモデルです．以後，この拡大アフィン平面を２次元射影平面と呼ぶ．

次の例は射影平面や拡大アフィン平面の理解を深めると思う．
３次元ユークリッド空間に原点を中心とする半球が$xy$平面上に置かれている(右図参照)．
この半球面の$xy$平面上の円の原点に関して対称な点を貼り付けたのが２次元射影平面です．陰になって見づらいが，$P$と$P$,$Q$と$Q$,$C$と$C$は同じ点です．
３次元ベクトル空間$\mathbb{R}^3$の１次元部分空間たとえば直線$OA$は点$A$ に対応し，$\mathbb{R}^3$の２次元ベクトル空間たとえば$OA,OB$の定める平面は大円弧$AB$ が対応している．さらに，結合関係は，$\mathbb{R}^3$における部分空間の関係である．
この半球面が２次元射影平面のモデル（定義を満たす例）であることが分かった．
この半球面のモデルが，２次元射影平面$P^2$を理解するのに役に立つ．
２次元平面$\mathbb{R}^2$と２次元射影平面$P^2$の違いを半球面のモデルを用いて説明する．
1.$P^2$では直線によって２つの領域に分けられることがない．
図で直線（大円弧）$DE$を考えよう．$A$から$B$に$DE$に交わらないでいくことができるからです($A$から赤道に下がり$B$にいく)．
2.直線上の２点$A,B$を定めても線分$AB$は２つあり，１つには定まらない．
したがって，内分点，外分点の区別はできない．
3.２直線は必ず１点で交わる．
すなわち，交わらないことや２点またはそれ以上の点で交わることはない．
4.$P^2$は異なる２つの直線で，２つの領域に分けられる．
図で，直線$AB,DE$を考える．このとき４つの領域Ⅰ,Ⅱ，Ⅲ，Ⅳに分けられるように見えるがⅠとⅢ，ⅡとⅣはつながっている．
これらが射影平面$P^2$の持つ性質です．これらの性質は射影平面の定義から読み取ることは至難の業です．
モデル（定義を満たす例）のありがたみが分かるのではないでしょうか．

さて，射影座標系での点の座標はわかったが，直線の方程式がどうなるかはまだわからない．
斉次アフィン座標系では直線の方程式が定義されているので，座標変換による座標の変換公式を調べ，斉次アフィン座標系の直線の式を射影座標系に持ち込もう．

4.射影座標系の座標変換

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