ここでは，射影座標系を変えたときの座標の変換式を求める．
平面上の２つの射影座標系
$[e_1,e_2,e_3;e],[a,b,c;d]$ が与えられ，$a,b,c$が$e_1,e_2,e_3$を用いて
$a=p_{11}e_1+p_{21}e_2+p_{31}e_3$
$b=p_{12}e_1+p_{22}e_2+p_{32}e_3$
$c=p_{13}e_1+p_{23}e_2+p_{33}e_3$
$a+b+c=d$
のとき($a,b.c$は一次独立であるから$k_1a+k_2b+k_3c=kd$となる$k_1,k_2,k_3$が存在するので実際は$a,b,c$のかわりに$k_1a,k_2b,k_3c$を使う)，平面上の点$P(p)$が
$p=xe_1+ye_2+ze_3=x'a+y'b+z'c$
のとき，$x',y',z'$を$x,y,z$で表した式を座標変換式という．
一般の線型代数と同じことを行うのであるが，行列を用いる方が分かりやすい．
$e_1,e_2,e_3,a,b,c$を列ベクトルとして
$\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}e_1&e_2&e_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}p_{11}&p_{12}&p_{13}\\p_{21}&p_{22}&p_{23}\\ p_{31}&p_{32}&p_{33}\end{pmatrix} \ \cdots (1)$
となる．
$A=\begin{pmatrix}p_{11}&p_{12}&p_{13}\\p_{21}&p_{22}&p_{23}\\ p_{31}&p_{32}&p_{33}\end{pmatrix}$
とおくと，
$\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}e_1&e_2&e_3\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}$
一方
$\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}e_1&e_2&e_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$
座標の斉次性を考慮し，
$k\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x'\\y'\\z\end{pmatrix} \ \cdots (2)$
$(1),(2)$を見比べるとわかるように反転ベクトルの変換公式になっている．

斉次アフィン座標系$[e_{x\infty},e_{y\infty},e_O;e]$は射影座標系の一つである．
この座標系での直線の方程式は
$\alpha x+\beta y+\gamma z=0$
であった．この直線を新しい射影座標系で表そう．
射影座標系$[a,b,c;e]$の基本点$a,b,c$を，斉次アフィン座標で
$a=\begin{pmatrix}p_{11}\\p_{21}\\p_{31}\end{pmatrix}, b=\begin{pmatrix}p_{12}\\p_{22}\\p_{32}\end{pmatrix}, c=\begin{pmatrix}p_{13}\\p_{23}\\p_{33}\end{pmatrix}$
とおく.このとき
$k\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_{11}&p_{12}&p_{13}\\p_{21}&p_{22}&p_{23}\\ p_{31}&p_{32}&p_{33}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} $
あるから
直線
$\begin{pmatrix}\alpha&\beta&\gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0$
は
$\begin{pmatrix}\alpha&\beta&\gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix}p_{11}&p_{12}&p_{13}\\p_{21}&p_{22}&p_{23}\\ p_{31}&p_{32}&p_{33}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=0$
したがって
$\begin{pmatrix}\alpha '&\beta '&\gamma '\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\alpha&\beta&\gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix}p_{11}&p_{12}&p_{13}\\p_{21}&p_{22}&p_{23}\\ p_{31}&p_{32}&p_{33}\end{pmatrix}$
とおけば，
$\alpha 'x'+\beta 'y'+\gamma 'z'=0$
となる．
したがって，すでに斉次座標で述べたことであるが，次の命題が成り立つ．
命題１
３点$A(a_1,a_2,a_3),B(b_1,b_2,b_3),C(c_1,c_2,c_3)$が同一直線上
$\Longleftrightarrow$
$\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}=0$
証明
３点$A,B,C$を通る直線を
$px+qy+rz=0　( \ p,q,r\text{は同時に}0\text{にならない})$
とすると各$i$で
$pa_i+qb_i+rc_i=0$
が成り立つ．したがって
$\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix}=0$
ここで$(p,q,r)\neq \overrightarrow{0}$であるから命題が成り立つ．

命題2
２点$A(a_1,a_2,a_3),B(b_1,b_2,b_3)$を通る直線の方程式は
$\begin{vmatrix}x&a_1&b_1\\y&a_2&b_2\\z&a_3&b_3\end{vmatrix}=0$
である．
証明
命題１より３点$(x,y,z),(a_1,a_2,a_3),(b_1,b_2,b_3)$が一直線上 であるから成り立つ．

命題２の直線の式を第１列で展開すれば
$(a_2b_3-a_3b_2)x+(a_3b_1-a_1b_3)y+(a_1b_2-a_2b_1)z=0$
となる．
$\boldsymbol{x}=(x,y,z),\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,a_3),\boldsymbol{b}=(b_1,b_2,b_3)$
とおけば
$(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{x}=0$
と表せる．
命題２より，直線$AB$上の点$P(x,y,z)$は2つのベクトル$(a_1,a_2,a_3),(b_1,b_2,b_3)$ の一次結合で表せるから
$(x,y,z)=s(a_1,a_2,a_3)+t(b_1,b_2,b_3)$
となる．これは直線の媒介変数表示である．

同様のことを直線についても行う．
命題3
3つの直線
$a_ix+b_iy+c_iz=0 \ \ (i=1,2,3)$
が一点で交わる
$\Longleftrightarrow$
$\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}=0$
証明証明は証明1と同様である．
実際
交点を$(x_0,y_0,z_0)(\neq (0,0,0))$とすると，
$\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_0\\y_0\\z_0\end{pmatrix}=0$
を満たす．

ここで，射影座標系$[e_1,e_2,e_3;e]$のもと，２点を通る直線，２直線の交点の関係を整理する
点の座標を$A$の座標を$(a_1,a_2,a_3)$と表すように，直線
$l:L_1x+L_2y+L_3z=0$
座標を$(L_1,L_2,L_3)$と表す．
本来は点の座標は
$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$
のように列ベクトルに,直線の座標は
$(L_1,L_2,L_3)$
のように行ベクトルで表示すると都合がよいが，煩雑であるので 点も行ベクトルになることが多い．
２点$A(a_1,a_2,a_3),B(b_1,b_2,b_3)$を通る直線の方程式は
$\begin{vmatrix}a_2&b_2\\a_3&b_3\end{vmatrix}x+ \begin{vmatrix}a_3&b_3\\a_1&b_1\end{vmatrix}y+ \begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}z=0$
したがって，直線$AB$は
$\left(\begin{vmatrix}a_2&b_2\\a_3&b_3\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}a_3&b_3\\a_1&b_1\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}\right)$
この式からわかるように，直線$AB$は外積の記号を用いて$A\times B$と表すと都合がよい．
２直線$l=(L_1,L_2,L_3),m(M_1,M_2,M_3)$交点は
$\left(\begin{vmatrix}L_2&M_2\\L_3&M_3\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}L_3&M_3\\L_1&M_1\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}L_1&M_1\\L_2&M_2\end{vmatrix}\right)$
この式からわかるように，2直線$l,m$の交点は外積の記号を用いて$l\times m$と表すと都合がよい．
たとえば，４点$A,B,C,D$が与えられたとき，２直線$AB,CD$の交点は
$(A\times B)\times (C\times D)$
と表す．
射影平面の議論は，後で２次曲線も出てくるが，直線と点の関係が基本で， 問題が外積計算で解決する場合が多い．

射影座標系の直線の方程式が分かったところで，直線上に座標を導入する．
平面上の射影座標系$[e_1,e_2,e_3;e]$のもとで，各点の射影座標は決まる． さらに上の命題2より，直線$l$上の異なる２点を$a,b$とすると， $l$上の任意の点$p$は
$p=ta+sb \ \cdots (\sharp)$
と表せる．
$(\sharp)$は直線上の点のすべてを表すが，$(t,s)$を定めても点を特定できるわけではない．
すなわち，$(t,s)$を座標というわけにはいかない．
例えば
$a=a_1e_1+a_2e_2+a_3e_3=(a_1,a_2,a_3)$
のとき，任意の$k$で
$a=k(a_1,a_2,a_3)$
でもあるからである．
この問題を解決するために，射影座標系の導入と同じことを行う．
直線$l$上の任意の３点$A,B,E$をとり，$A,B,E$の射影座標$a,b,e$を
$a+b=e$
を満たすように定める．
このとき，$l$上の任意の点$P(p)$は
$p=ta+sb \ \cdots (\flat)$
とあらわせ，$(t,s)$を点$P(p)$の射影座標系$[a,b;e]$の斉次射影座標という．
この座標系で$A,B,E$の射影座標はそれぞれ$(1,0),(0,1),(1,1)$である．
斉次射影座標で$\frac{t}{s}$を新しく$t$と置いた
$p=ta+b$
と表せる．$t$を射影座標系$[a,b;e]$の非斉次座標という．$A,B,E$の非斉次座標は それぞれ$\infty ,0,1$である．

例
射影座標系$[e_1,e_2,e_3;e]$のもと
$a=(1,2,0),b=(0,0,1)$
のとき，直線$A(a)B(b)$上の点$e=(2,4,3)$を単位点とした射影座標系$[a,b;e]$のもとでは$a,b$の座標が
$a=(2,4,0),b=(0,0,3)$
と確定するので直線$AB$上の点$p$は
$p=sa+tb$
と表せ，かつ$s,t$が確定する．
しかし，$a=(1,2,0),b=(0,0,1)$だけでは
$a=k(1,2,0),b=l(0,0,1)$
で任意の$k,l$をとってもよいから,任意の$p$に対して
$p=sa+tb$
と表せるが，$s,t$は確定しない．


5.デザルグの定理

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