ここでは，射影座標系を変えたときの座標の変換式を求める．
平面上の２つの射影座標系
$[e_1,e_2,e_3;e],[a,b,c;d]$ が与えられ，$a,b,c$が$e_1,e_2,e_3$を用いて
$a=p_{11}e_1+p_{21}e_2+p_{31}e_3$
$b=p_{12}e_1+p_{22}e_2+p_{32}e_3$
$c=p_{13}e_1+p_{23}e_2+p_{33}e_3$
$a+b+c=d$
のとき($a,b.c$は一次独立であるから$k_1a+k_2b+k_3c=kd$となる$k_1,k_2,k_3$が存在するので実際は$a,b,c$のかわりに$k_1a,k_2b,k_3c$を使う)，平面上の点$P(p)$が
$p=xe_1+ye_2+ze_3=x'a+y'b+z'c$
のとき，$x',y',z'$を$x,y,z$で表した式を座標変換式という．
一般の線型代数と同じことを行うのであるが，行列を用いる方が分かりやすい．
$e_1,e_2,e_3,a,b,c$を列ベクトルとして
$\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}e_1&e_2&e_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}p_{11}&p_{12}&p_{13}\\p_{21}&p_{22}&p_{23}\\ p_{31}&p_{32}&p_{33}\end{pmatrix} \ \cdots (1)$
となる．
$A=\begin{pmatrix}p_{11}&p_{12}&p_{13}\\p_{21}&p_{22}&p_{23}\\ p_{31}&p_{32}&p_{33}\end{pmatrix}$
とおくと，
$\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}e_1&e_2&e_3\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}$
一方
$\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}e_1&e_2&e_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$
座標の斉次性を考慮し，
$k\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x'\\y'\\z\end{pmatrix} \ \cdots (2)$
$(1),(2)$を見比べるとわかるように反転ベクトルの変換公式になっている．

斉次アフィン座標系$[e_{x\infty},e_{y\infty},e_O;e]$は射影座標系の一つである．
この座標系での直線の方程式は
$\alpha x+\beta y+\gamma z=0$
であった．この直線を新しい射影座標系で表そう．
射影座標系$[a,b,c;e]$の基点$a,b,c$を，斉次アフィン座標で
$a=\begin{pmatrix}p_{11}\\p_{21}\\p_{31}\end{pmatrix}, b=\begin{pmatrix}p_{12}\\p_{22}\\p_{32}\end{pmatrix}, c=\begin{pmatrix}p_{13}\\p_{23}\\p_{33}\end{pmatrix}$
とおく.このとき$(2)$より
$k\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_{11}&p_{12}&p_{13}\\p_{21}&p_{22}&p_{23}\\ p_{31}&p_{32}&p_{33}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} $
あるから
直線
$\begin{pmatrix}\alpha&\beta&\gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0$
は
$\begin{pmatrix}\alpha&\beta&\gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix}p_{11}&p_{12}&p_{13}\\p_{21}&p_{22}&p_{23}\\ p_{31}&p_{32}&p_{33}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=0$
したがって
$\begin{pmatrix}\alpha '&\beta '&\gamma '\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\alpha&\beta&\gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix}p_{11}&p_{12}&p_{13}\\p_{21}&p_{22}&p_{23}\\ p_{31}&p_{32}&p_{33}\end{pmatrix}\cdots (3)$
とおけば，
$\alpha 'x'+\beta 'y'+\gamma 'z'=0$
となる．
$(1),(3)$を見比べれば直線の係数は共変ベクトルの変換公式である．
以上で，射影平面において，直線の方程式は$x,y,z$の斉次1次式であることが分かった．

以下射影座標で成り立つ直線に関しての命題を述べる．
命題１
３点$A(a_1,a_2,a_3),B(b_1,b_2,b_3),C(c_1,c_2,c_3)$が同一直線上
$\Longleftrightarrow$
$\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}=0$
証明
３点$A,B,C$を通る直線を
$px+qy+rz=0　( \ p,q,r\text{は同時に}0\text{にならない})$
とすると各$i$で
$pa_i+qb_i+rc_i=0$
が成り立つ．したがって
$\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix}=0$
ここで$(p,q,r)\neq \overrightarrow{0}$であるから命題が成り立つ．

命題2
２点$A(a_1,a_2,a_3),B(b_1,b_2,b_3)$を通る直線の方程式は
$\begin{vmatrix}x&a_1&b_1\\y&a_2&b_2\\z&a_3&b_3\end{vmatrix}=0$
である．
証明
命題１より３点$(x,y,z),(a_1,a_2,a_3),(b_1,b_2,b_3)$が一直線上 であるから成り立つ．

命題２の直線の式を第１列で展開すれば
$(a_2b_3-a_3b_2)x+(a_3b_1-a_1b_3)y+(a_1b_2-a_2b_1)z=0$
となる．
$\boldsymbol{x}=(x,y,z),\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,a_3),\boldsymbol{b}=(b_1,b_2,b_3)$
とおけば
$(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{x}=0$
と表せる．
命題２より，直線$AB$上の点$P(x,y,z)$は2つのベクトル$(a_1,a_2,a_3),(b_1,b_2,b_3)$ の一次結合で表せるから($\boldsymbol{x}$は$\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\}$と1次従属)
$(x,y,z)=s(a_1,a_2,a_3)+t(b_1,b_2,b_3)$
となる．これは直線の媒介変数表示である．

同様のことを直線についても行う．
命題3
3つの直線
$a_ix+b_iy+c_iz=0 \ \ (i=1,2,3)$
が一点で交わる
$\Longleftrightarrow$
$\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}=0$
証明証明は証明1と同様である．
実際
交点を$(x_0,y_0,z_0)(\neq (0,0,0))$とすると，
$\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_0\\y_0\\z_0\end{pmatrix}=0$
を満たす．

ここで，射影座標系$[e_1,e_2,e_3;e]$のもと，２点を通る直線，２直線の交点の関係を整理する
点$A$の座標を$(a_1,a_2,a_3)$と表すように，直線
$l:L_1x+L_2y+L_3z=0$
を座標$(L_1,L_2,L_3)$と表す．
本来は点の座標は
$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$
のように列ベクトルに,直線の座標は
$(L_1,L_2,L_3)$
のように行ベクトルで表示すると行列の積の計算とり都合がよいが，煩雑であるので 点も行ベクトルと示すことが多い．
２点$A(a_1,a_2,a_3),B(b_1,b_2,b_3)$を通る直線の方程式は
$\begin{vmatrix}a_2&b_2\\a_3&b_3\end{vmatrix}x+ \begin{vmatrix}a_3&b_3\\a_1&b_1\end{vmatrix}y+ \begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}z=0$
したがって，直線$AB$は
$\left(\begin{vmatrix}a_2&b_2\\a_3&b_3\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}a_3&b_3\\a_1&b_1\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}\right)$
この式からわかるように，直線$AB$は外積の記号を用いて$A\times B$と表すと都合がよい．
２直線$l=(L_1,L_2,L_3),m(M_1,M_2,M_3)$交点は
$\begin{cases}L_1x+L_2y+L_3z=0\\ M_1x+M_2y+m_3z=0\end{cases}$
を解いて
$\left(\begin{vmatrix}L_2&M_2\\L_3&M_3\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}L_3&M_3\\L_1&M_1\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}L_1&M_1\\L_2&M_2\end{vmatrix}\right)$
この式からわかるように，2直線$l,m$の交点は外積の記号を用いて$l\times m$と表すと都合がよい．
たとえば，４点$A,B,C,D$が与えられたとき，２直線$AB,CD$の交点は
$(A\times B)\times (C\times D)$
と表す．
射影平面の議論は，後で２次曲線も出てくるが，直線と点の関係が基本で， 問題が内積外積計算で解決する場合が多い．

平面上の直線を直接扱うこともある．ここで,アフィン平面に定義された射影座標系 $[e_1,e_2,e_3;e]$のもとで直線を考える．
直線$l$上の異なる２点を$A(\boldsymbol{a}),B(\boldsymbol{b})$とすると， $l$上の任意の点$\boldsymbol{p}$は
$\boldsymbol{p}=t\boldsymbol{a}+s\boldsymbol{b} \ \cdots (\sharp)$
と表せる．
$(\sharp)$は直線上の点のすべてを表すが，このままでは$(t,s)$を座標と いうわけにはいかない．
それは，$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$は斉次座標で点を示すことはできるが，座標系の基点にはそのままではならない．
それを解決するために，平面で行ったように，直線上のもう一つの点を用意する．
直線$l$上に$A(\boldsymbol{a}),B(\boldsymbol{b})$以外の点$E(\boldsymbol{e})$を取り
$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{e}$
を満たすように定める．
このとき，$l$上の任意の点$P(\boldsymbol{p})$は
$\boldsymbol{p}=t\boldsymbol{a}+s\boldsymbol{b} \ \cdots (\flat)$
とあらわせ，$(t,s)$を点$P(\boldsymbol{p})$の直線上定義された射影座標系$[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b};\boldsymbol{e}]$の(斉次)射影座標という．
この座標系で$A,B,E$の射影座標はそれぞれ$(1,0),(0,1),(1,1)$である．
斉次射影座標で$\frac{t}{s}$を新しく$t$と置いた
$p=ta+b$
と表せる．$t$を射影座標系$[a,b;e]$の非斉次射影座標という．$A,B,E$の非斉次射影座標は それぞれ$\infty ,0,1$である．

例
射影座標系$[\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3;\boldsymbol{e}]$のもと
$\boldsymbol{a}=(1,2,0),\boldsymbol{b}=(0,0,1)$
のとき，直線$A(\boldsymbol{a})B(\boldsymbol{b})$上の点$\boldsymbol{e}=(2,4,3)$を単位点とした射影座標系$[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b};\boldsymbol{e}]$のもとでは$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$の座標が
$\boldsymbol{a}=(2,4,0),\boldsymbol{b}=(0,0,3)$
と確定するので直線$AB$上の点$p$は
$p=s\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}$
と表せ，かつ$s,t$が確定する．
しかし，$\boldsymbol{a}=(1,2,0),\boldsymbol{b}=(0,0,1)$だけでは
$\boldsymbol{a}=k(1,2,0),\boldsymbol{b}=l(0,0,1)$
で任意の$k,l$をとってもよいから,任意の$p$に対して
$p=s\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}$
と表せるが，$s,t$は確定しない．したがって座標系にはならない．


5.デザルグの定理

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