ここでは改めて アフィン座標系（斜交座標系)を用いて，無限遠点，無限遠直線を定義します．
以下，平面にアフィン座標系$[O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}]$を導入し，アフィン座標$P(x,y)$を考える．
無限遠点は平行な２直線の交点として導入された．それを無限遠点，無限遠直線の解決の糸口とする．
２直線
$ax+by+c=0,px+qy+r=0$
が平行でないとき，この２直線の交点は
$x=\dfrac{\begin{vmatrix}b&c\\q&r\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\p&q\end{vmatrix}}, y=\dfrac{\begin{vmatrix}c&a\\r&p\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\p&q\end{vmatrix}}$
ここでは，２直線が平行なとき，すなわち$aq-bp=0$のときの交点を考えたい．
すでに考えた,$(x,y)$を$(x,y,1)$とみる方法を用いる．すなわち$(x,y)$を連比
$x:y:1$
と考える．連比であるから任意の定数$k\neq 0$に対して
$x:y:1=kx:ky:k$
が成り立つ．
このように考えれば，
２直線
$ax+by+c=0,px+qy+r=0$
の交点は
$\dfrac{\begin{vmatrix}b&c\\q&r\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\p&q\end{vmatrix}}: \dfrac{\begin{vmatrix}c&a\\r&p\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\p&q\end{vmatrix}}:1 =\begin{vmatrix}b&c\\q&r\end{vmatrix}:\begin{vmatrix}c&a\\r&p\end{vmatrix}:\begin{vmatrix}a&b\\p&q\end{vmatrix}$
となり，右辺は$aq-bp=0$のときも使える．
$aq-bp=0$のとき２直線の交点は
$\begin{vmatrix}b&c\\q&r\end{vmatrix}:\begin{vmatrix}c&a\\r&p\end{vmatrix}:0$
となる．この点が２直線$ax+by+c=0,px+qy+r=0$のそれぞれの無限遠点であることはあとで確認する．

ここで，アフィン座標系における斉次座標を定義する．
アフィン座標系$[O;\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_1}]$が与えられたアフィン平面上で，以下の３条件を満たす順序の付いた３実数の組 $(x_1,x_2,x_3)\neq (0,0,0)$をアフィン平面上の斉次アフィン座標という．
1.$k\neq 0$のとき$(kx_1,kx_2,kx_3)$と$(x_1,x_2,x_3)$は同じ点の斉次座標である．
2.$x_3\neq 0$のとき，$(x_1,x_2,x_3)$は$\frac{x_1}{x_3}\overrightarrow{e_1}+\frac{x_2}{x_3}\overrightarrow{e_1}$である点の斉次座標である．
3.$x_3=0$のとき$(x_1,x_2,0)$は無限遠点を表す．

斉次座標を用いて，アフィン平面に無限遠点が導入された．無限遠点が導入された アフィン平面を拡大アフィン平面と呼び，拡大アフィン平面における斉次座標を斉次アフィン座標または単に斉次座標という．
アフィン平面上で直線の方程式が定義されたが，それを利用して 拡大アフィン平面上に直線の方程式を導入する．

アフィン座標系では，直線の方程式は,定数$a,b,c$を用いて
$ax+by+c=0　\ \cdots (1)$
と表せる．
斉次座標における$(x,y,z)$は$z\neq 0$のとき$(\frac{x}{z},\frac{y}{z})$であるから，(1)の$x,y$を $\frac{x}{z},\frac{y}{z}$で置き換えた
$a\dfrac{x}{z}+b\dfrac{y}{z}+c=0$
分母を払い$(1)$は
$ax+by+cz=0 \ \ ( \ a,b,c\text{は同時に}0\text{にならない})$
となる．
すなわち，$x,y,z$の定数項を含まない１次式が斉次座標における直線の方程式である．
ここで，$z=0$は平面上の無限遠点全てを表し， さらに$x,y,z$の定数項を含まない１次式であるから直線である．この直線を無限遠直線と呼ぶ．
以後考えるのは，特別な場合を除いて，平面は拡大アフィン平面で，座標は アフィン座標系を用いて定義された斉次座標である．

直線や点の関係についてまとめよう．
命題１
３点$A(a_1,a_2,a_3),B(b_1,b_2,b_3),C(c_1,c_2,c_3)$が同一直線上
$\Longleftrightarrow$
$\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}=0$
証明
３点$A,B,C$を通る直線を
$px+qy+rz=0　( \ p,q,r\text{は同時に}0\text{にならない})$
とすると，各$i$で
$pa_i+qb_i+rc_i=0$
が成り立つ．したがって
$\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix}=0$
ここで$(p,q,r)\neq \overrightarrow{0}$であるから命題が成り立つ．

命題2
２点$A(a_1,a_2,a_3),B(b_1,b_2,b_3)$を通る直線の方程式は
$\begin{pmatrix}x&a_1&b_1\\y&a_2&b_2\\z&a_3&b_3\end{pmatrix}=0$
である．
証明
命題１より３点$(x,y,z),(a_1,a_2,a_3),(b_1,b_2,b_3)$が一直線上 であるから成り立つ．

命題２の直線の式を第１行で展開すれば
$(a_2b_3-a_3b_2)x+(a_3b_1-a_1b_3)y+(a_1b_2-a_2b_1)z=0$
となる．
$\boldsymbol{x}=(x,y,z),\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,a_3),\boldsymbol{b}=(b_1,b_2,b_3)$
とおけば
$(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{x}=0$
と表せる．
命題２より，直線$AB$上の点$P(x,y,z)$は2つのベクトル$(a_1,a_2,a_3),(b_1,b_2,b_3)$ の一次結合で表せるから
$(x,y,z)=s(a_1,a_2,a_3)+t(b_1,b_2,b_3)$
となる．これは直線の媒介変数表示である．

同様のことを直線についても行う．
命題3
3つの直線
$a_ix+b_iy+c_iz=0 \ \ (i=1,2,3)$
が一点で交わる
$\Longleftrightarrow$
$\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}=0$
証明
証明は証明1と同様である．
実際
交点を$(x_0,y_0,z_0)(\neq (0,0,0))$とすると，
$\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_0\\y_0\\z_0\end{pmatrix}=0$
を満たす．


3.射影平面

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