§1.中心射影 これまで平行射影を扱ってきました．これからが本題です． 風景を写真に撮ったとき，風景と写真を比べたとき 保たれる幾何学性質はなんでしょうか． と書きました，これを解決していきましょう．この内容が発展して非ユークリッド幾何や楕円幾何 につながります．これは透視図法を研究した天才レオナルドダビンチさえ驚くことでしょう．  ３次元空間内に平行でない２平面$\pi,\pi '$と$\pi,\pi '$上にない 点$O$が与えられたとき，写像 $f:\pi \longrightarrow \pi ';P\mapsto P'$ を$P'$を直線$OP$と平面$\pi '$の交点で定義する． この写像を$O$を極とする中心射影または極射影という． 中心射影で保たれる図形的性質を考えてみましょう． まず，点は点にうつり，直線は直線にうつることが分かります． つぎに，直線が直線にうつるので，１直線上にある３点は１直線上にある３点にうつり，点が点に写るので， １点で交わる３本の直線は１点で交わる３本の直線にうつります．なおこの性質は，重要な性質で，この性質を 点と直線の結合関係を保つ といいます．また，それぞれを共線条件を保つ，共点条件を保つということもあります． ここまでは平行射影と一致しました.これから中心射影の問題点を調べていきます 
右図は$O$が極の中心射影$f:\pi \to \pi '$ で，点$A$は$OA \parallel \pi '$を満たすように取ってある． $\pi$上の点$A$を通る直線$PQ,RS$の像$P'Q',R'S'$は平行である． これは交点$A$の像が$\pi '$上にない．すなわち無限遠点であるからです． $A$を通る直線の像は互いに平行であることがわかり，中心射影では平行線の像は平行線とは限らないことが分かりました． これは，平行射影と中心射影の大きな違いです．平行射影の議論の進め方をみると， 平行線の像が平行すなわち，平行四辺形の像が平行四辺形になるという性質が議論の中核になっているからです． さて，もう少し見てみましょう． $A$の像は平面$\pi '$上にはありません．$\pi$上に定義できない点があるので， 中心射影 $f:\pi \to \pi '$ とはいえません．すなわち$f$はこのままでは写像ではありません． さらに，$A$を通り$\pi '$に平行な直線上の点の像は$\pi '$上には存在しません． これは，図で直線$PQ,RS$は点$A$で交わるので，平面$\pi '$上で2直線の像$P'Q',R'S'$ が$A$の像で交わると考えれば解決します．言い方を変えれば，各直線上に１点無限遠点を付け加えれば解決します． さらに，平面$\pi $上の点$A$を通り$\pi '$に平行な直線(黄緑色)の像は$\pi '$上の すべての無限遠点を通る直線であるので，平面上のすべての無限遠点を通る 直線である無限遠直線を付け加えれば $O$が極の中心射影 $f:\pi \to \pi '$ は定義でき点は点にうつり，直線は直線にうつる． つぎのページで，無限遠点，無限遠直線を解析幾何で扱います． 2.斉次座標 射影幾何の目次 全体の目次 |