ここまで平行射影をアフィン変換との関係を中心に述べてきました．
ここでは平行射影を用いて問題を解いていきます． 平行射影の理解が深まると思います．
今までは，考える平面はアフィン平面すなわち長さや角度は定義されていない平面でしたが これからは長さや角度が定義された平面すなわちユークリッド平面を考えます．ですから二等辺三角形，正三角形，直角三角形等が 意味を持つことになります．

まず平行射影の定義を確認しよう．

３次元空間内に平行でない２平面$\pi,\pi '$があり$\pi,\pi '$の交線を$l$とする． またベクトル$\overrightarrow{v}$は平面$\pi ,\pi '$と平行でないとする． このとき
$f:\pi \longrightarrow \pi ';P\mapsto P'$
$P'$を$P$を通る$\overrightarrow{v}$と平行な直線と平面$\pi '$ の交点で定義する．
この写像を$\overrightarrow{v}$が投影方向である平行射影という．
平行射影$f$で保たれる性質を調べよう．(証明は§２にある)
(1)点は点にうつり直線は直線にうつる．
(2) 平行な２直線の像は平行な２直線である．
(3)平行な線分の比は保たれる．
すなわち右図で
$EA:DC=EA:AB=E'A':A'B'=E'A':D'C'$

これは，平行射影の基本となる性質で，これからアフィン変換の定義につながったことはすでに述べた通りです．
以下の性質は上記の３性質より導き出された内容です．

(4)2つの領域の面積の比とそれらの像の面積の比は変わらない．
証明
平行射影
$f:\pi \to \pi '$
で，$S,S'$が$\pi$の２つの領域のとき，$\pi $を合同な小正方形ので覆う（右図）．
小正方形を十分小さくすれば，$S_1,S_2$の面積比は，$S_1,S_2$ に含まれる小正方形の個数の比で近似できる．
一方，$f$による小正方形の像はそれぞれ平行四辺形で互いに合同である．
$S$の含む小正方形の個数と$f(S)$の含む小平行四辺形の個数はひとしいから $S,S'$の面積比と$f(S),f(S')$の面積比は等しい．

(5) $\triangle ABC$が平面$\pi$上,$\triangle PQR$が平面$\pi '$上にある．
このとき平行射影
$f:\pi \to \pi '$
で次の条件を満たすものが存在する．
$\triangle ABC$の像が$\triangle PQR$と相似な三角形$\triangle P'Q'R'$ である.

証明
2平面$\pi,\pi '$の交線を直線$AB$とし
$P'=A,Q'=B$
とする．
平面$\pi '$上に点$R'$を
$\triangle P'Q'R'$∽$\triangle PQR$
を満たすようにとり$\overrightarrow {CR'}$が射影方向の 平行射影を考えればよい．

性質５より任意の三角形は 平行射影によりどんな三角形にも形を変えることができる．
平行射影で保たれる性質に関する命題(これをアフィン幾何の命題という)は考えやすい図形で証明すればよい．特に，正三角形や直角二等辺三角形に変えて問題を解決することが多い．
ここでクラインの主張する幾何学の主張を見てみよう．
「幾何学は，ある空間の，ある変換群によって不変な性質の研究である」

例１
三角形の３本の中線は一点で交わることを証明せよ．
解答
三角形を平行射影により正三角形にうつす．このとき，平行射影により線分の中点は中点にうつる
したがって，正三角形で３本の中線が一点で交わることを示せばよい．
正三角形では中線は内角の二等分線であるから一点で交わることが証明できる．
これで，三角形の重心はアフィン幾何学の対象であることが分かる．

例2
$\triangle ABC$が与えらえている．
$\triangle ABC$内の点$P$で
$\triangle PBC=\triangle PCA=\triangle PAB$
を満たす点を見つけよ．
解答
三角形を平行射影により正三角形にうつす．このとき，平行射影において 領域の面積の比は変わらないから，求める点の像は正三角形$A'B'C'$の 内部の点$Q$で
$\triangle QB'C'=\triangle QCA=\triangle QAB$
を満たす点である．
$B'C'=C'A'=A'B'$
であるから，点$Q$は三辺に下して垂線の長さが等しい点すなわち$\triangle A'B'C'$の 内心である．正三角形の内心は３本の中線の交点である．
したがって，点$P$は$\triangle ABC$の３本の中線の交点すなわち重心である．

例3
三角形のチェバの定理，メネラウスの定理も辺の比についての命題であるから，アフィン幾何の命題である．
この定理を解析幾何で解くことは現実的ではないが，直角二等辺三角形なら，解析幾何でも面倒でない．
$\triangle AOB$で$A(0,1),B(1,0)$,$O$は原点，直線$OB,OA,AB$上にそれぞれ点$P,Q,R$を取り，$P(s,0),Q(0,t),R(u,1-u)$とする．
チェバの定理
$AP,BQ,OR$が1点で交わる(共点)$\Longleftrightarrow \dfrac{OQ}{QA}\cdot \dfrac{AR}{RB}\cdot \dfrac{BP}{PO}=1$
メネラウスの定理
$P,Q,R$が一直線上(共線)$\Longleftrightarrow \dfrac{OQ}{QA}\cdot \dfrac{AR}{RB}\cdot \dfrac{BP}{PO}=-1$

証明
(チェバの定理)
直線$AP,BQ,OR$の方程式はそれぞれ
$\dfrac{x}{s}+y=1,x+\dfrac{y}{t}=1,y=\dfrac{1-u}{u}x$
したがって3直線が共点であるための条件は
$\begin{vmatrix}1&s&-s\\t&1&-t\\1-u&-u&0\end{vmatrix}=0$
計算すると
$2stu-st-tu-us+s=0$
一方
$\dfrac{OQ}{QA}\cdot \dfrac{AR}{RB}\cdot \dfrac{BP}{PO}=1$
$\dfrac{t}{1-t}\cdot \dfrac{u}{1-u}\cdot \dfrac{1-s}{s}=1$
より
$2stu-st-tu-us+s=0$
(メネラウスの定理)
3点$P(s,0),Q(0,t),R(u,1-u)$
の共線条件は
$\begin{vmatrix}s&0&u\\0&t&1-u\\1&1&1\end{vmatrix}=0$
計算すると
$st-tu+us-s=0$
一方
$\dfrac{OQ}{QA}\cdot \dfrac{AR}{RB}\cdot \dfrac{BP}{PO}=-1$
$\dfrac{t}{1-t}\cdot \dfrac{u}{1-u}\cdot \dfrac{1-s}{s}=-1$
より
$st-tu+us-s=0$

すでに，アフィン変換は３つの透視アフィン変換の合成で表せることを述べたが（§5），ここでは，平面をユークリッド平面に限って別の見方をしよう．
平行射影は２つの平面$\pi _1,\pi _2$間の写像
$f:\pi _1\to \pi_2$
であるが，$\pi _1,\pi_2$を同じ平面$\pi$の場所を変えたものとみると平行射影は平面$\pi$の変換
$f:\pi \to \pi$
となる．
平行射影$f$はアフィン変換の３条件
1.直線の像は直線である．
2.平行な２直線の像は平行な２直線である．
3.平行な２線分の比は保たれる．
を満たすので，アフィン変換である．
一方，アフィン変換は一直線上にない３点間の対応で決まる．言い方を変えれば，
平面上の$\triangle ABC,\triangle PQR$を決めれば
$f:A\mapsto P,B\mapsto Q,C\mapsto R$
となるアフィン変換がただ一つ来まる．(§５)
また，平面上の２つの相似な三角形$\triangle PQR,\triangle P'Q'R'$ が与えられたとき
$g:P\mapsto P',Q\mapsto Q',R\mapsto R'$
となる相似変換ただ一つ決まる．
正確には，平面上に$A,B$および$A',B'$が与えられたとき
$A\mapsto A',B\mapsto B'$を満たす相似変換は２つ存在してそれは 正の相似変換と負の相似変換である(相似変換)．
さらに，相似変換$g$は中心相似変換，および平行移動，回転移動，対称移動の合成であらわせ，それぞれがアフィン 変換の条件を満たすのでアフィン変換です．
したがって，性質５より，任意のアフィン変換は平行射影と相似変換の 合成で表せることが分かります．

この頁はユークリッド平面$\pi$の平行射影を述べてきました．
平行射影はアフィン変換を説明するために導入されたものです． したがって通常，平行射影を考えるときは，距離や角度は 定義されないアフィン平面で行い，性質４，性質５やアフィン変換は平行射影と相似変換の合成で表せる等のユークリッド平面での議論は行いません，


7.合同変換


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