ここではアフィン座標系においてアフィン変換を扱う． まずアフィン変換の定義を復習する．透視アフィン変換から抽出した性質からなる．
定義1
平面$\pi$上の点を点にうつす写像
$f:\pi \longrightarrow \pi$
で次の３条件を満たすものをアフィン変換という．
1.直線の像は直線である．
2.平行な２直線の像は平行な２直線である．
3.平行な２線分の比は保たれる．

注意
アフィン変換の定義をしたが，一般の射影幾何学の書における定義はもう少し条件が緩く次のようになっている．
定義2
平面$\pi$上の点を点にうつす１対1上への写像
$f:\pi \longrightarrow \pi$
で直線の像が直線であるものをアフィン変換という．

理由はそのセクションの最後に述べる．もちろん条件1より条件2,条件3が導けることで定義1で問題になることはない．

アフィン座標系$[O;\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}]$を定め，
$f:O\mapsto O'(p,q),\overrightarrow{e_1}\mapsto \overrightarrow{e_1'}=a\overrightarrow{e_1}+c\overrightarrow{e_2}=(a,c), \overrightarrow{e_2}\mapsto \overrightarrow{e_2'}=b\overrightarrow{e_1}+d\overrightarrow{e_2}=(b,d)$
のとき
$x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}\mapsto x'\overrightarrow{e_1}+y'\overrightarrow{e_2}$
として$(x',y')$を$(x,y)$で表します．
さてアフィン変換$f$は線型性は仮定していませんが，定義の３より
$f(k\overrightarrow{u})=kf(\overrightarrow{u})$
が成り立ちます．和に関してはどうでしょう．２より平行四辺形は平行四辺形にうつりますから，これを利用します．
上図で，$P\mapsto Q$のとき平行四辺形$OAPB$は平行四辺形$O'CQD$にうつることを利用します．
$(x',y')=\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OO'} +\overrightarrow{O'C}+\overrightarrow{OD}$
$=\overrightarrow{OO'}+x\overrightarrow{e_1'}+y\overrightarrow{e_2'}$
$=(p,q)+x(a,c)+y(b,d)$
したがって
$\begin{cases} x'=ax+by+p\\y'=cx+dy+q\end{cases}$
行列で表すと
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}\cdots (\sharp)$
ここで$\overrightarrow{e_1'},\overrightarrow{e_2'}$は一次独立であるから
$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\neq 0$
である．
逆にアフィン座標系の元の変換が$(\sharp)$を満たすならアフィン変換の ３条件を満たすことは明らかである．

アフィン座標系のもとでのアフィン変換が$(\sharp)$の形になることが分かったが$(\sharp)$は
$\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a&b&p\\c&d&q\\0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}\cdots (\flat)$
の方が見やすい．点の座標$(x,y)$を$(x,y,1)$と表示する ことは斉次座標の一つである．斉次座標についてはあとで述べる．

命題
アフィン座標系のもと，一直線上にない３点 $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),P_3(x_3,y_3)$と一直線上にない３点 $Q_1(x_1',y_1'),Q_2(x_2',y_2'),Q_3(x_3',y_3')$が与えられたとき
$f:P_1\mapsto Q_1,P_2\mapsto Q_2,P_3\mapsto Q_3$
を満たすアフィン変換$f$は存在してただ一つに限る．

証明
$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),P_3(x_3,y_3)$が一直線上にない
$\Longleftrightarrow$
$\begin{vmatrix}x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\\1&1&1\end{vmatrix}\neq 0$
であるから，
$\begin{pmatrix}x_1'&x_2'&x_3'\\y_1'&y_2'&y_3'\\1&1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a&b&p\\c&d&q\\0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\\1&1&1\end{pmatrix}$
を満たす行列
$\begin{pmatrix}a&b&p\\c&d&q\\0&0&1\end{pmatrix}$
がただ一つ存在する．

これで，次の目標となる定理が証明される．

定理
任意のアフィン変換は多くとも３つの透視アフィン変換の合成で表せる．
証明
平面上の一直線上にない３点$A,B,C$および$A',B',C'$に対して，３つの透視アフィン変換$f,g,h$を つぎのように作ればよい．
$A\stackrel{f}{\mapsto}A'\stackrel{g}{\mapsto}A'\stackrel{h}{\mapsto}A'$
$B\stackrel{f}{\mapsto}B \stackrel{g}{\mapsto}B'\stackrel{h}{\mapsto}B'$
$C\stackrel{f}{\mapsto}C^* \stackrel{g}{\mapsto}C^{**}\stackrel{h}{\mapsto}C'$
$f$は$A\mapsto A'$で軸が$B$を通る直線である透視アフィン変換
$g$は$B\mapsto B'$で軸が$A'$を通る直線である透視アフィン変換
$h$は$C^{**}\mapsto C'$で軸が直線$A'B'$である透視アフィン変換

透視アフィン変換はアフィン変換に含まれるが，透視アフィン変換の合成ですべてのアフィン変換が表せることが分かった．

2つの命題より，一直線上にない3点の像が決まればアフィン変換はただ一つ定まり，その変換は多くとも3つの透視アフィン変換の合成で表せることが分かった．
さて，すでに実際のアフィン変換の定義は
定義2
平面$\pi$上の点を点にうつす１対1上への写像
$f:\pi \longrightarrow \pi$
で直線の像は直線であるものをアフィン変換という．

と述べた．すなわち,アフィン変換の定義に
2.平行な２直線の像は平行な２直線である．
3.平行な２線分の比は保たれる．
は必要でない．その理由を説明する．
一直線上にない3点の像を定めたとき，直線の像が直線の条件だけで，その写像が定まる，すなわち平面上の任意の点の像がただ一つ定まれば，それは透視アフィン変換の合成で作られたものと一致する（透視アフィン変換は 直線の像は直線）．したがって，その写像は条件２，３もみたし，すでに定義したアフィン変換と一致する．
それでは，一直線上にない3点の像定めたとき，直線の像が直線の条件だけで，その写像が定まることを示そう．
$f:\pi \longrightarrow \pi$
が1対1上への写像で，直線の像は直線とする．
2直線$l,m$の交点の像は$l,m$の像である直線$l',m'$の交点である．
この性質より，平行な2直線の像は平行な2直線である.
もし，平行な2直線$l,m$の像が交わるとする．$f$は1対1，上への写像であるから，$f$による交点の逆像は$l,m$上にあり，$l,m$が平行に反する．
2直線の交点の像は定まることを利用して，平面上の点の像を定める．
3点$A,B,C$が同一直線上にないとき，
$f$による$A,B,C$の像をそれぞれ$A',B',C'$とする．
$B$を通り$AC$に平行な直線と$C$を通り$AB$に平行な直線の交点$D$の像は定まる（∵平行線の像は平行線）．
次に２直線$AD,BC$の交点$D_1$の像も定まる．
$D_1$を通り$AB,AC$に平行な直線を引き平行四辺形$ABDC$を4つの平行四辺形を分けると， それぞれの平行四辺形の頂点も像が定まる．
これを繰り返せば，平行四辺形$ABCD$の内部の像の定まる点は稠密であることが分かる．
像の定まる点は高々可算個であるから濃度を考えることより， この方法で平行四辺形の内部または周上のすべての点の像が定まるわけではないことが分かる．
平行四辺形$ABDC$の内部または周上の任意の点$P$に対して，
平行四辺形$ABDC$を4つの分けたとき$P$を含む平行四辺形を$A_1B_1D_1C_1$とする． 2つ以上ある場合はいずれかを取ればよい．以下同様．
平行四辺形$A_1B_1D_1C_1$を4つの分けたとき$P$を含む平行四辺形を $A_2B_2D_2C_2$とする．
これを繰り返せば，$P$を含む平行四辺形の列
平行四辺形$ABDC,A_1B_1D_1C_1,\dots ,A_nB_nD_nC_n,\dots$
ができる．各平行四辺形の頂点のいずれかをとる，例えば$A_n$を取れば
$A,A_1,A_2,\dots ,A_n,\dots $
はそれぞれ像が定義でき，点$P$に収束する．
各$A_i$の像を$A_i'$とすれば
$A',A_1',A_2',\dots ,A_n',\dots$
の極限により$P$の像を定義すれば平行四辺形$ABDC$の内部および周上の点の像が定義できた.
次に平行四辺形$ABDC$の外部を考える．
$A,D$を通り$BC$に平行の直線および$B,C$を通り$AD$に平行な直線による平行四辺形$A_1B_1D_1C_1$ は各頂点の像が定義できる，これを繰り返せば,平行四辺形の列
平行四辺形$ABDC,A_1B_1D_1C_1,A_2B_2D_2C_2,\dots$
はだんだん大きくなり，平面上の任意の点$P$に対して，$P$を含む平行四辺形$A_nB_nD_nC_n$が存在する．
頂点$A_nB_nD_nC_n$は像が定義できるから，前半の議論により$P$の像が定義できる．
したがって，平面上の任意の点の像が確定することが示された．

なお，同じ議論があとで述べる射影変換でもなされる．

6.平行射影の応用


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