ここでは，アフィン座標系について述べる．アフィン座標系は， アフィン変換を扱うときに用いる座標系で，斜交座標系と呼ぶことも多い．

平面上に１点$O$を定め，$O$を始点とする平行でない ２つのベクトル$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ を定めた座標系をアフィン座標系(斜交座標系)といい， $[O;\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}]$と表す．
２つのベクトル$\overrightarrow{e_1}=\overrightarrow{OE_1}, \overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{OE_2}$をこの座標系の基本ベクトル,$O$を原点という．
平面上の任意の点$P$に対して$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_1}$で
$\overrightarrow{OP}=a\overrightarrow{e_1}+b\overrightarrow{e_1}$
とただ一通りに表すことができる．
$(a,b)$を点$P$のアフィン座標系$[O;\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}]$の(アフィン)座標という．この座標系における $O,E_1,E_2$の座標はそれぞれ
$O(0,0),E_1(1,0),E_2(0,1)$
である．
後で，アフィン平面の定義は別途するが，通常はアフィン座標系が与えらえた平面をアフィン平面と呼ぶ．

アフィン平面で対象になる図形は，もちろん２次曲線も後半扱うが基本的には直線である．
直線の方程式を復習しよう．
$A(a,b)$を通り$\overrightarrow{u}=(u,v)$と平行な直線を$l$とする．直線$l$上の点を$P(x,y)$とすると
$(x,y)=(a,b)+t(u,v)=(a+tu,b+tv)$
$u\neq 0$のとき$y-b=\dfrac{v}{u}(x-a)$
$u=0$のとき$x=a,y$は任意．
直線の方向ベクトル$(u,v)$に対して$m=\frac{v}{u}$をこの直線の傾きということにする．
一般に直線の方程式は$ax+by+c=0$と表せる．
このように，直線の扱いは直交座標と変わらないことがわかる．

アフィン座標は高校でも学び，高校では直線の方程式を次の様に学んでいる．
$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OE_1}+y\overrightarrow{OE_2}$
のとき,2点$E_1,E_2$を通る直線は$x+y=1$でこの事実を土台に議論を進めている.
例えば
$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$
は
$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OE_1}+y\overrightarrow{OE_2}$
$=\dfrac{x}{a}\cdot a\overrightarrow{OE_1}+\dfrac{y}{b}\cdot b\overrightarrow{OE_2}$
より
$A(a\overrightarrow{OE_1}),B(b\overrightarrow{OE_2})$
としたときの直線$AB$である．

直線と点の関係で次の性質は重要である．

性質1
３点$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),P(x_3,y_3)$が同一直線上ある
$\Longleftrightarrow$
$\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{vmatrix}=0$
これは，３点が一直線上にあるとき，その ３点を通る直線を$ax+by+c=0$とすると
$\begin{cases} ax_1+by_1+c=0\\ ax_2+by_2+c=0\\ ax_2+by_2+c=0 \end{cases}$
これを行列で表示すれば
$\begin{pmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=0$
したがって，自明でない(0でない）$a,b,c$が存在すれば
$\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{vmatrix}=0$
が成り立つし，逆もなりたつ．

性質2
3直線
$\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1=0\\a_2x+b_2y+c_2=0\\a_1x+b_1y+c_2=0\end{cases}$
が一点を共有するか互いに平行．
$\Longleftrightarrow$
$\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}=0$

証明
３直線が互いに平行であれば
$(a_1,a_2,a_3)\parallel (b_1,b_2,b_3)$
より
$\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}=0$
が成り立ち，
３直線が１点$(x_0,y_0)$で交われば
$\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_0\\y_0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$
が成り立つから，
$\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}=0$
逆に
$\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}=0$
が成り立つとき
$(a_1,a_2,a_3)\parallel (b_1,b_2,b_3)$
なら，３直線が互いに平行で，
$(a_1,a_2,a_3)\nparallel (b_1,b_2,b_3)$
のとき
$\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_0\\y_0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$
を満たす$(x_0,y_0)$は存在しないから
$\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_0\\y_0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$
を満たす$(x_0,y_0)$が存在する．

次にアフィン座標系を変えたとき点の座標がどのように変換されるかを調べよう．
これは，アフィン平面に座標系を導入して議論をするので，ほかの座標系でも問題ないか を調べる必要があります．
また，議論を簡単にするために座標系を変えることはしばしば行われます． ですから避けては通れません．
アフィン平面上に2つ座標系$[O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}],[O',\overrightarrow{e_1'},\overrightarrow{e_2'}]$ が与えられ
$\overrightarrow{OO'}=p\overrightarrow{e_1}+p\overrightarrow{e_2}$
$\overrightarrow{e_1'}=a\overrightarrow{e_1}+c\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_2'}=b\overrightarrow{e_1}+d\overrightarrow{e_2}$
のとき，同一の点$P$を
$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}, \ \overrightarrow{O'P} =x'\overrightarrow{e_1'}+y'\overrightarrow{e_2'}$
と表した時$x',y'$と$x,y$の関係式を求めましょう．
まず，ベクトルは列ベクトルで表し，$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$および$\overrightarrow{e_1'},\overrightarrow{e_2'}$ の関係を行列を用いて表すと
$\begin{pmatrix}\overrightarrow{e_1'}&\overrightarrow{e_2'}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\overrightarrow{e_1}&\overrightarrow{e_2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} $
となる．
$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}, \ \overrightarrow{O'P} =x'\overrightarrow{e_1'}+y'\overrightarrow{e_2'}$
より
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'P}$
$=\begin{pmatrix}\overrightarrow{e_1}&\overrightarrow{e_2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}\overrightarrow{e_1}&\overrightarrow{e_2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$
一方
$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}= \begin{pmatrix}\overrightarrow{e_1}&\overrightarrow{e_2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
であるから$x,y,x',y'$の関係式は
$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$
となる．
$x,y$と$x',y'$の関係が入れ替わっていることに注意しましょう．
ちなみに，$(p,q)=(0,0)$ならベクトル空間の基底変換のときの成分の変換公式です．

ここでアフィン平面を見直そう．
平面上にアフィン座標系を与えた上で，平面上の議論を進めるのであるが， アフィン座標系を与える前の平面はどうのように捉えるべきかについて考えよう．
アフィン平面の定義は次のようになっています．
定義
２次元アフィン平面$H$は空集合でなく，要素を点と呼び，実数$\mathbb{R}$上の２次元ベクトル空間$V$と 次の関係があるもである．
1.$H$上の２点$A,B$に対して$V$上のただ一つのベクトル$\overrightarrow{AB}$が定まる．
2.$H$上の点$A$と$V$のベクトル$\overrightarrow{v}$に対して$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{v}$を満たす$H$上の点$B$ がただ一つ決まる．
3.$H$上の２点$A,B$が一致するのは$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}\in V$のときで，そのときに限る．
4.$H$上の任意の３点$A,B,C$に対して$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$が成り立つ．

わかりづらいけど，要するに，アフィン平面とは原点となる１点をどこでもいいから定めれば２次元ベクトル空間である平面だということです．
1は$H$上の任意の一点$A$を定めれば任意の$B$に対してベクトル空間$V$の要素が唯一つ定まるということで，2はその逆を意味しています．
3は$0$ベクトルを定め，4は和を定めているということです．
重要なことは，計量を与えてないことです．すなわち，アフィン平面には長さや角の概念はありません．

5.アフィン変換

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