透視アフィン変換の性質を調べよう．
次の性質が重要である．
命題1
透視アフィン変換は軸と１点の像を定めればきまる．
証明
平面$\pi$上で軸と１点$A$の像$A'$が与えられたとき， 軸を通る２つの平面$\pi ',\pi ''$によって定まる透視変換$f,g$が
$f:\pi \to \pi '\to \pi ; A\mapsto P \mapsto A'$
$g:\pi \to \pi ''\to \pi ; A\mapsto Q \mapsto A'$
のとき，$\pi$上の任意の点$B$に対して
$f(B)=B',g(B)=B''$
とすると$B',B"$が一致することを言えば，一意性がいえるので解決する．
$\bullet B$が$AA'$上にないとき
$AB$と軸が交わるとき
$AB$と軸との交点を$C$とすると，$AB$と$A'B'$は$C$で交わり，$AB$と$A'B''$も$C$ で交わるから，$B',B''$はともに$A'C$上にある．
さらに，$AA'\parallel BB',AA'\parallel BB''$であるから$B',B''$はともに$B$を通り $AA'$に平行な直線上にある．したがって，$B',B''$は一致する．

$\bullet \ AB$と軸が平行な時
$AB\parallel A'B',AB\parallel A'B''$
さらに，
$BB'\parallel AA'\parallel BB''$であるから$B'$と$B''$は一致する．

$\bullet B$が$AA'$上にあるとき
$B',B''$はともに直線$AA'$上にあり，
$AA':BB'=AA':BB''$
したがって，$B',B''$は一致する．

ここまで，透視アフィン変換を扱ってきました．透視アフィン変換が持つ性質を用いて アフィン変換の定義をする．
定義
平面$\pi$上の点を点にうつす写像
$f:\pi \longrightarrow \pi$
で次の３条件を満たすものをアフィン変換という．
1.直線の像は直線である．
2.平行な２直線の像は平行な２直線である．
3.平行な２線分の比は保たれる．すなわち
$AB\parallel CD$で$f:A\mapsto A',B\mapsto B',C\mapsto C',D\mapsto D'$
のとき
$AB:CD=A'B':C'D'$
が成り立つ．

透視アフィン変換は当然アフィン変換である．
当然逆は成り立たない．実際，平行移動はアフィン変換であるが，不動点がないすなわち軸が 存在しないので透視アフィン変換ではない．
しかし，任意のアフィン変換は多くとも3つの透視アフィン変換の合成で表せることが後で証明される．

4.アフィン座標系

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