極射影を扱う前にまず平行射影を扱います．
３次元空間内に平行でない２平面$\pi,\pi '$があり$\pi,\pi '$の交線を$l$とする． またベクトル$\overrightarrow{v}$は平面$\pi ,\pi '$と平行でないとする． このとき
$f:\pi \longrightarrow \pi ';P\mapsto P'$
$P'$を$P$を通る$\overrightarrow{v}$と平行な直線と平面$\pi '$ の交点で定義する．
この写像を$\overrightarrow{v}$が投影方向である平行射影という．

平行射影$f$で保たれる性質を調べよう．
(1)点は点にうつり直線は直線にうつる．
$(\because)$直線の像が直線にうつることは，右図で直線$AB$の像は直線$AB$と投影方向ベクトル $\overrightarrow{v}$の決める平面と平面$\pi '$の交線．

(1)から３点が一直線上にあれば像の３点も一直線上にあることがわかる．
(2) 平行な２直線の像は平行な２直線である．
$(\because) \ AB\parallel DC$のとき $AB$および$\overrightarrow{v}$のきめる平面と$DC$ および$\overrightarrow{v}$のきめる平面は平行．

なお$\parallel$は平行の意味でこれからもこの記号を用いる．
また，3点が一直線上にあることを，３点が共線条件を満たすとか，３点が共線であるという．

(3)平行な線分の比は保たれる．
$(\because )$(2)より平行四辺形の像は平行四辺形であり，右上図で
$AA'\parallel BB'\parallel EE'$
より
$EA:DC=EA:AB=E'A':A'B'=E'A':D'C'$

次に，投影方向ベクトル$\overrightarrow{u}$の平行射影$f:\pi \to \pi '$と 投影方向ベクトル$\overrightarrow{v}$の平行射影$g:\pi '\to \pi$の 合成写像$g\circ f$を考える．
(１対１上への写像$f:\pi \to \pi '$で$\pi$と$\pi '$が一致するとき， すなわち$f:\pi \to \pi$を変換という．)
すなわち，すでに考えた平行でない２平面$\pi,\pi '$に対して，
$g\circ f:\pi \stackrel{f}{\longrightarrow}\pi '\stackrel{g}{\longrightarrow}\pi$
を考える．この平行射影の合成$g\circ f$を平面$\pi$の透視アフィン変換という．
ちなみに,通常のアフィン変換は透視アフィン変換の合成で表せることが後で分かります．
さて，平行射影$f,g$の合成変換$g\circ f$の性質を調べましょう．

(1)点は点に写り，直線は直線にうつる．
(2) ３点が一直線上にあれば像の３点も一直線上にある．
(3) 平行な２直線の像は平行な２直線で，平行な線分の比は保たれる．
ここまでは平行射影の性質で当然合成写像でも成り立ちます．
さらに，
$g\circ f:A\mapsto A''\mapsto A',B\mapsto B''\mapsto B'$
のとき(右図)
$\triangle AA''A' \parallel \triangle BB''B'$
したがって，$AA'\parallel BB'$が成り立つ．すなわち
(4) 対応点を結んだ直線は平行である．
$\overrightarrow{AA'}$をこの透視アフィン変換の透視方向という．
２平面$\pi ,\pi '$の交線を$l$とする．この直線$l$を透視アフィン変換$g\circ f$ の軸という．
$AB$と軸$l$が平行でないとき，$AB$と$l$の交点を$O$とする．このとき
$AO \mapsto A''O \mapsto A'O$
$B$は$AO$上にあるから$B'$は$A'O$上，すなわち$O$は$A'B'$上にある．したがって$AB$と$A'B'$の交点は$l$上である．すなわち３本の直線$AB,A'B',l$ は一点で交わる．
$AB\parallel l$のとき透視アフィン変換で$l$は動かさず，平行射影で平行な２直線は 平行な２直線にうつす．
$AB\parallel l \parallel A'B'$
したがって次のようになる．
(5)直線$AB$の像が直線$A'B'$のとき，透視アフィン変換の軸を$l$とすると，
$AB,A'B',l$は一点で交わるか互いに平行である．


3.透視アフィン変換

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