点の周りの回転移動では，長さや角の大きさ，面積は変わりません．
それでは，風景を写真に撮ったとき，保たれる幾何学性質はなんでしょうか． 写真を見て元の風景がある程度わかるので，何かあるはずです． これを考えることから射影幾何学が始まりました．

内容をはっきりさせましょう．
３次元空間内に平行でない２平面$\pi,\pi '$と$\pi,\pi '$上にない 点$O$が与えられたとき，写像
$f:\pi \longrightarrow \pi ';P\mapsto P'$
を$P'$を直線$OP$と平面$\pi '$の交点で定義する．
この写像を中心射影または極射影という．
この写像で保たれる図形的性質を考えてみましょう．
まず，点は点にうつり，直線は直線にうつることが分かります．
つぎに，直線が直線にうつるので，１直線上にある３点は１直線上にある３点にうつり，点が点に写るので， １点で交わる３本の直線は１点で交わる３本の直線にうつります．なおこの性質は，重要な性質で，この性質を
点と直線の結合関係を保つ
といいます．他にあるかは後でゆっくり考えるとして，ここでは，まず中学，高校で学ぶユークリッド幾何と，これから学ぶ幾何の関係を述べていきます．
ユークリッド幾何が合同な図形すなわち重ね合わせることができる図形は同じ図形と扱う幾何学です．言い方をかえれば， 平行移動，回転移動，対称移動，またはそれらの合成全体からなる変換群$G$を考え(これを合同変換群という)，2つの図形$A,B$に対して$A$と$B$が重なりあう$f\in G$が 存在するとき$A\equiv B$と定める幾何学です．
そして変換群$G$で保たれる性質すなわち，長さ，角，面積等を扱う幾何学がユークリッド幾何学です．
このような見方で幾何学を考えるなら，$A\equiv B$を定めるのは変換群ですから，変換群によって幾何学が定まるということです．
これが，１９世紀クラインの提唱した幾何学の研究方法です．
ここで，中心射影を見てみましょう．
$\bullet$点は点にうつり，直線は直線にうつる．
$\bullet$点と直線の結合関係を保つ
他にもあるのですが，この２条件を満たす変換全体を変換群$G$として， 幾何学を行うとしたらどうなるでしょう．多くのものが互いに合同になってしまい， 面白みに欠けるようになってしまいます．そこで，条件を付け加える，すなわち保つ性質を付け加えると，変換群が小さくなり，合同な範囲も小さくなります． 変換群を小さくして出来上がった幾何学を元の幾何学の部分幾何学といいます．
ここで学ぶのは，中心射影を基に出来上がった幾何学で射影幾何学といいます．アフィン幾何学，ユークリッド幾何，双曲ユークリッド幾何，楕円幾何学は射影幾何の部分幾何になっています． その内容を伝えたいと思っています．



2.平行射影

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