Malfattiの問題

第２節　３円の半径
まず，△ＡＢＣが与えられたとき，２円が外接しかつそれぞれの円が２辺に接する場合，すなわち， 右の２円Ｏ，Ｏ’の半径ｒ，ｒ’の関係を考えます．
Ｉは△ＡＢＣの内心で，Ｏ，Ｏ’，Ｉから辺ＢＣに下ろした垂線の足をそれぞれＤ，Ｅ，Ｆ， ＯからＩＦ，Ｏ’からＯＤにおろした垂線の足をそれぞれＧ，Ｋとします．
△ＡＢＣの内接円の半径をＩＦ＝ｔさらに
ＡＢ＝ｃ，ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ
とおくと，次が成り立ちます．
ＢＦ＝ｓ−ｂ，ＣＦ＝ｓ−ｃ，
ＤＥ２＝ＫＯ’２
＝（ｒ＋ｒ’）２−（ｒ−ｒ’）２＝４ｒｒ’


ここで示したｒ，ｒ’及び内接円の半径ｔの関係がこれからの議論の土台になります．

準備ができました．ここで文字を新しくします．
円Ｏ，Ｏ’，Ｏ”を右の図のようにとり，それらの半径をそれぞれｒ１， ｒ２，ｒ３,さらに△ＡＢＣの内接円の半径をｒとする．
さらに，内心をＩをし，ＩからＢＣ，ＣＡ，ＡＢに下ろした垂線の足をそれぞれＤ，Ｅ，Ｆとする．
ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ
とおき，
ＢＤ＝ｍ＝ｓ−ｂ，ＣＤ＝ｎ＝ｓ−ｃ，ＡＥ＝ｌ＝ｓ−ａ
とおく．

この連立方程式を解くのはそれほど簡単ではありません．もし興味があれば 連立方程式の解（ＰＤＦファイル）を ご覧下さい．
ただ数学者はこの連立方程式をどのように解くかは知って損はありありません．
２つの方程式が共通解を持つ条件に帰着させるのです．
例えば，連立方程式
ａｘ２＋２ｂｘｙ＋ｃｙ２＝ｄ
ｐｘ２＋２ｑｘｙ＋ｒｙ２＝ｓ
について，ｘ＝ｘ０，ｙ＝ｙ０が解の一つとすると ｘ＝ｘ０は２つのｘについての方程式
ａｘ２＋２ｂｙｘ＋ｃｙ２−ｄ＝０・・・@
ｐｘ２＋２ｑｙｘ＋ｒｙ２−ｓ＝０・・・A
の共通解です．
したがって，@，Aをｘの方程式とみて，共通解を持つようにｙの値をもとめ，そのｙの 値にしたがってｘの値をもとめるという方法を用います．

２つの２次方程式
ｘ２＋ａｘ＋ｂ＝０・・・B
ｘ２＋ｐｘ＋ｑ＝０・・・C
が共通解を持つ条件を調べましょう．
まず必要条件から調べます．
ｘ＝ｔがB，Cの共通解とします．このときｔは
ｔ３＋ａｔ２＋ｂｔ＝０
ｔ２＋ａｔ＋ｂ＝０
ｔ３＋ｐｔ２＋ｑｔ＝０
ｔ２＋ｐｔ＋ｑ＝０
を満たします．これを行列で書くと
となります．自明でない解をもつから，
とおくと行列Ａは逆行列を持ちません．行列Ａの行列式は，
凵＝iｑ−ｂ）２−（ｐ−ａ）（ａｑ−ｂｐ）
となります．したがって，B，Cが共通解を持つときの必要条件は凵≠Oです．
逆に凵≠Oのとき， Bの解をα，β，Cの解をγ，δとすると
α＋β＝−ａ，αβ＝ｂ，γ＋δ＝−ｐ，γδ＝ｑ
より
凵＝iγδ−αβ）２−（−γ−δ＋α＋β）｛（−α−β）γδ−αβ（−γ−δ）｝
この式のγにαを代入して計算すると０になるので，凾ﾍα−γを因数にもつ．
同様にα−δ，β−γ，β−δを因数にもち，α２β２の係数に注目すれば
凵＝iα−γ）（α−δ）（β−γ）（β−δ）
であることがわかる．したがって，凵≠Oのとき２つの方程式B，Cは共通解を持つことがわかりました．

解答の方針がわかりましたが，それで連立方程式
ｍｙ２＋ｎｚ２＋２ｒｙｚ＝ａｒ・・・@
ｎｚ２＋ｌｘ２＋２ｒｚｘ＝ｂｒ・・・A
ｌｘ２＋ｍｙ２＋２ｒｙｚ＝ｃｒ・・・B
が解けるかというとそれほど甘くはありません
． しかし，ここでは解けたとして，話を進めます．
@，Aからｘを消去した式とBより，ｙｚ＝αとおくと，いくつかの計算をした上で
２α２−２（ｒ−ｌ）α−ｌｒ＝０　・・・C
となります．Cを解くと


右の図で，
ＨＫ２＝（ｒ３＋ｒ２）２−（ｒ３−ｒ２）２ ＝４ｒ２ｒ３
が成り立ちます．したがって，
ＨＫ＝２ｙｚ＝ＡＩ−ＡＥ＋ＩＥ
が成り立ちます．
ここで得た性質をまとめると次の定理になります．
次の定理は，安島，Malfattiともに示した，この問題のkeyとなる定理です．
定理（安島・Malfatti）
△ＡＢＣの内心をＩ，△ＡＢＣの２辺ずつに接しかつ互いに外接する３円をＯ１，Ｏ２，Ｏ３ とする．Ｉから辺ＣＡに下した垂線の足をＥ，Ｏ’，Ｏ”から辺ＢＣに下した垂線の足をそれぞれＨ，Ｋとすると
ＨＫ＝ＡＩ−ＡＥ＋ＩＥ
が成り立つ．

定理の等式の右辺は，△ＡＩＥの内接円とＡＩ，またはＩＥとの接点をＬとすればＩＬですが，それは用いません．
下の図は，この関係式を確かめるためのものです．△ＡＢＣの頂点をドラッグして上の等式を確認しましょう．
証明とは，定理の内容を納得して頭にしまいこむためのものです．もし図を見，図形を動かし，いろんな例を確かめ定理が 納得できるなら，無理に定理の証明を追いかける必要はありません．話を進め，興味を持ったときに証明戻ることが現実的な優れた方法です．．





蛇足になりますが，３円の半径ｒ１，ｒ２，ｒ３は定理より求めることができ， それにより作図することができます．
次の節では具体例を扱います．そのときには，ここで述べた安島・Malfattiの定理が土台になります．

第３節　３斜３円術

Malfattiの問題の目次

全体の目次