第３節 三斜三円術 
Malfattiの問題はすでに安島直円（あじまなおのぶ）が西洋より先に著書「南山子三円術」
で扱ったことは有名であるし，このことは日本人の誇りです．ここでは，安島直円の作った問題を解き，問題のすばらしさを鑑賞するとともに問題の背景を調べます． 安島直円の問題を口語訳すると次のとおりです． 三斜三円術 3辺の長さが５０７，３７５，２５２の三角形に，2辺ずつ接しかつ互いに外接する3円の半径を求めよ． 答え 大きい順に１２８，１１２．５，７２である． それではこの問題を解いていきます． 与えられた三角形の3辺はすべて3の倍数である．3で割った ａ＝１６９，ｂ＝１２５，ｃ＝８４ でまず考えよう． ｓ＝（１６９＋１２５＋８４）／２＝１８９＝３３・７ より ｓ−ａ＝２０＝２２・５，ｓ−ｂ＝６４＝２６，ｓ−ｃ＝１０５＝３・５・７ ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）＝２８・３４・５２・７２ ヘロンの公式より，三角形の面積をＳとすると Ｓ＝２４・３２・５・７＝５０４０ この三角形の内接円の半径ｒを求めましょう． ｒ＝Ｓ／ｓ＝２４・３２・５・７／３３・７＝８０／３ と内接円の半径が分母３の分数になりました． これで，3辺の長さを３倍した理由がわかりました．内接円の半径を整数にしたかったからです． 次に３つの円の半径を求めましょう． 
ここでは，2節の結果を用います．右の図で，Ｏ，Ｏ’から辺ＢＣに下ろした垂線の足をＨ，Ｋ，ＩからＡＣに下ろした垂線の足をＬとすると, 安島・Malfattiの定理より ＨＫ＝ＡＩ＋ＩＬ−ＡＬ が成り立つ． さらに，円Ｏ，Ｏ’の半径をそれぞれｒ，ｒ’とすると  が成り立ちます． 
したがって，内心Ｉより３辺ＣＡ，ＡＢ，ＢＣに下ろした垂線の足をそれぞれＬ，Ｍ，Ｎとし，ｘ＝（ＩＡ＋ＩＬ−ＡＬ）／２ ｙ＝（ＩＢ＋ＩＭ−ＢＭ）／２ ｚ＝（ＩＣ＋ＩＮ−ＣＮ）／２ を計算する． ａ＝ＢＣ＝５０７，ｂ＝ＣＡ＝３７５，ｃ＝ＡＢ＝２５２ であるから， ｓ＝（５０７＋３７５＋２５２）／２＝５６７ ＩＬ＝ＩＭ＝ＩＮ＝８０， ＡＬ＝ｓ−ａ＝６０，ＢＭ＝ｓ−ｂ＝１９２，ＣＮ＝ｓ−ｃ＝３１５ 三平方の定理より  
となり，△ＩＡＬ，△ＩＢＭ，△ＩＣＮのすべての辺の長さが整数になりました．ｘ＝（ＩＡ＋ＩＬ−ＡＬ）／２＝１２０ ＝２３・３・５ ｙ＝（ＩＢ＋ＩＭ−ＢＭ）／２＝９６ ＝２５・３ ｚ＝（ＩＣ＋ＩＮ−ＣＮ）／２＝９０ ＝２・３２・５ ３つの円の半径は ｘｙ／ｚ＝１２８，ｙｚ／ｘ＝７２，ｚｘ／ｙ＝２２５／２ となりこれが答えです．
さて，安島直円はどのように右の三角形を作ったかを考えましょう．３つの直角三角形△ＡＩＬ，△ＢＩＭ，△ＣＩＮに注目します． これらの三角形は次の３条件を満たしています． （１）３辺の長さがすべて整数 （２）∠ＡＩＬ＋∠ＢＩＭ＋∠ＣＩＮ＝１８０° （３）ＩＬ＝ＩＭ＝ＩＮ 逆にこの３条件を満たせば，同じ三角形をもう１つずつ作って△ＡＢＣを作れば， ３辺の２辺ずつに接し互いに外接する円の半径は少なくとも有理数です． したがって，相似拡大することにより，３円が整数であるようにできる． （１）については， ｍ２＋ｎ２，２ｍｎ，ｍ２＋ｎ２(ｍ，ｎの 偶奇は異なり，互いに素) を考えればいくらでもあり （証明は極端原理の例８の準備にある）また （３）は最小公倍数を考えることにより 問題とならない． 
問題は（２）です．これは，３辺と面積が整数の鋭角三角形を利用したのであろう． ３辺，面積が整数なら，内角のsin，cosは共に有理数で（３辺が整数よりcosが有理数，高さが有理数よりsinが有理数）， この三角形を頂点から対辺に垂線を引くこととにより２つの三角形に分けてできる，右図の△ＢＡＥ，△ＡＢＤ，△ＡＣＤは それぞれの三角形の辺の長さは少なくとも有理数でかつＡ＋Ｂ＋Ｃ＝１８０°である．したがって，相似拡大する事により 上の３条件を満たす３つの三角形にすることができる． すなわち，それぞれをＢＤ，ＣＤ，ＡＥに対応する辺の長さが一致する（ＡＥ，ＢＤ，ＣＥ，の最小公倍数）ような 相似拡大をすれば求める３つの三角形を作ることができる． 先にすすむ前にいくつかの注意を述べておきます． １．３辺が整数の直角三角形の３辺は ２ｍｎ，ｍ２−ｎ２，ｍ２＋ｎ２ (ｍ，ｎは偶奇が異なり互いに素) またはその整数倍です．（ｍ，ｎがともに奇数のときは，作られた３数がすべて偶数になり，その直角三角形に対応する 別のｍ，ｎが存在するということです）． したがって，直角でない内角をθとするとcosθ，sinθはともに有理数です．cosθ，sinθがともに有理数となるθあいくらでもあり，単位円の周上には有理点が いくつでもあることが分かります．このことは，cosθ，sinθがtan(θ/2)で表せることからも分かります．実際， 
より$\tan \frac{\theta}{2}=\frac{n}{m}$とおくと上で述べた内容と一致します．なお，$\cos \theta,\sin \theta$が$\tan \frac{\theta}{2}$で表せることは， 円$x^2+y^2=1$と直線$y=a(x+1)$の交点を求めることよりも分かります(右図)． 実際，連立方程式 $\begin{cases} x^2+y^2=1\\ y=a(x+1)\end{cases}$ を解くと $x=-1$(これはグラフよりわかる)，$x=\dfrac{1-a^2}{1+a^2}$ したがって，$P$の座標は $P\left(\dfrac{1-a^2}{1+a^2},\dfrac{2a}{1+a^2}\right)$ $\angle PAO=\frac{\theta}{2}$とおくと $P(\cos \theta,\sin \theta)$であり$a=\tan \frac{\theta}{2}$. したがって $\cos \theta =\dfrac{1-\tan ^2\frac{\theta}{2}}{1+\tan ^2\frac{\theta}{2}}, \sin \theta =\dfrac{2\tan \frac{\theta}{2}}{1+\tan ^2\frac{\theta}{2}}$ 
２．３辺および面積がともに整数の三角形は，２つの直角三角形より作れます．例えば，（３，４，５）と（５，１２，１３）の２つの直角三角形より，斜辺でない２辺を重ねることにより４種類の ３辺，面積がともに整数の三角形ができます．右図では△ＡＢＣの辺ＡＣ＝４と△ＡＤＣのＡＣ＝１２において，△ＡＢＣを ３倍し，１２の辺を重ねて作ったものです．このような組み合わせは４通りあるので４種類の３辺，面積が整数の三角形が できます．この４つの三角形は角の大きさに注目すれば分かるように，２つのが鋭角三角形，２つが鈍角三角形です． さらに，鈍角三角形は，内側に重ねても作ることができます（右下図）． （３，４，５），（５，１２，１３）より作られた（１３，１４，１５）の三角形が面積が一番小さい３辺， 面積ともに整数の鋭角三角形で，内側に重ねるように作った（４，１３，１５）の三角形が面積が一番小さい面積，３辺ともに整数の鈍角三角形です．なお，直角三角形で 一番小さい三角形は当然（３，４，５）です． 作り方から３辺，面積がともに整数の三角形は鈍角の方が作り易いことが分かります．なお，３辺が整数の直角三角形が無数に存在するので， 鋭角三角形に限っても無数にあることが分かります． 
△ＡＢＣの３辺，面積がともに整数のとき，３辺が整数より，cosＡ，cosＢ，cosＣはともに有理数で，高さが有理数
よりsinＡ，sinＢ，sinＣは有理数です（cosＡ，cosＢ，sinＡ，sinＢが有理数なら加法定理より
cosＣ，sinＣが有理数は導かれます）．逆にcosＡ，cosＢ，sinＡ，sinＢがすべて有理数のとき，AC:AD:CDおよびBC:BD:CDはともに 整数比で表せますから，この三角形は２つの３辺が整数である直角三角形で作ることができます． 
ここで，単純に斜辺でないほうの辺の長さをそろえて重ねて作ったとき，当然３辺，面積は整数ですが，
３辺が公約数を持つことがあることに注意するする必要があります．例えば，（７，２４，２５）と（３６，７７，８５）で，２４と３６のところを重ねれば 右の三角形になります．図より分かるように，３辺が５の倍数になるので，この場合の三角形は３辺を５で割り， ３辺の長さは（１５，３４，３５）となります． 安島が考えた三角形，すなわち，３辺の長さが整数でさらに三角形の内部に２辺ずつ接しかつ互いに外接する３円の 半径が整数である三角形を安島三角形と呼ぶことにする． 安島三角形は３辺，面積がともに整数である鋭角三角形より相似な三角形を除いて １つ作る事ができる．したがって，無数に存在することが分かる． 以下安島三角形を作る．実際に安島三角形を作ってみると安島の作った三角形がいかにすばらしいかが理解できると思います． 
具体例で計算してみよう．３辺および面積が整数の鋭角三角形をどれにするかが大切です． まず，２つの直角三角形３×３，４×３，５×３；５，１２，１３の１２を重ねた１３，１４，１５の三角形 で計算します．前にも述べましたが，この三角形は辺の長さ，面積が整数の最小の鋭角三角形です．一番最初にこの例を 調べることが自然です． 右図の△ＡＢＤ，△ＡＣＤ，△ＢＡＥを考えます．△ＢＡＥは１３倍し，３つの三角形 ３，４，５；５，１２，１３；３３，５６，６５ 
とすれば，∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０° です． さらに，ＢＤ，ＣＤ，ＡＥが同じ長さになるように拡大する．すなわち， １６５，２２０，２７５； １６５，３９６，４２９； １６５，２８０，３２５ 
として，あとはこれらの三角形を組み合わせれば次の右下の図ができます．
まだ完成ではありません．これは，互いに外接する３円の半径が有理数というだけです． したがって，半径を計算しこの三角形の拡大し，半径を整数にする作業が残っています． ２ｘ＝２７５−２２０＋１６５＝２２０ ２ｙ＝４２９−３９６＋１６５＝１９８ ２ｚ＝３２５−２８０＋１６５＝２１０ ｘ＝２・５・１１，ｙ＝３２・１１，ｚ＝３・５・７ 
ｒ１＝ｘｙ／ｚ＝２・３・５・１１２／７ｒ２＝ｙｚ／ｘ＝３３・７／２ ｒ３＝ｚｘ／ｙ＝２・５２・７・１１２／３ したがって，右の三角形を４２倍しなければ求める円の半径が整数になりません． ３辺の長さは２８３９２，２１０００，２５８７２となり現実的な数字ではありません． 安島直円が作った例がいかに優れているかがこの例からもよくわかります． ここで安島直円が作った三角形をもう一度見てみましょう． これは右の図のように１３，２０，２１の三角形から作られています． 
右の図のように３，４，５；５，１２，１３；１６，６３，６５ の三角形にわけ １００，８０，６０； ２０８，８０，１９２； ３２５，８０，３１５ 
ｘ＝１００＋８０−６０＝２３・３・５ｙ＝２０８＋８０−１９２＝２５・３ ｚ＝３２５＋８０−３１５＝２・３２・５ より，２倍するだけで内接する３円はすべて整数になります． 安島の作った例の秘密は右上の３つの小三角形にあります． 左から ５＋４−３＝６ １３＋５−１２＝６ ６５＋１６−６３＝１８ このように６，６，１８となり最小公倍数が１８です． このように， （斜辺）＋（他の辺）−（他の辺） の最大公約数が大きくならない３つの直角三角形は３角の和が１８０°を無視しても他には見つけられない． 実際，直角三角形を小さい順に並べてみると， （３，４，５），（５，１２，１３），（８，１５，１７），（７，２４，２５）， （９，４０，４１），（１２，３５，３７），（２０，２１，２９），（１１，６０，６１），・・・ であり，試してみるとよいと思う． いくつかの例を調べると，安島の作った例は奇跡的にうまくいった例といえるだろう． また，安島は安島三角形を見つけるために次のことを行っていたと予想できます． 直角三角形の３辺 ｍ２−ｎ２，２ｍｎ，ｍ２＋ｎ２（ｍ＞ｎ） について， ｍ２＋ｎ２−（ｍ２−ｎ２）＋２ｍｎ＝２ｎ（ｍ＋ｎ） ｍ２＋ｎ２−２ｍｎ＋（ｍ２−ｎ２）＝２ｍ（ｍ−ｎ） より，ピタゴラス数 ｍ２−ｎ２，２ｍｎ，ｍ２＋ｎ２（ｍ＞ｎ） に対して，あわせて， ｍ，ｎ，ｍ＋ｎ，ｍ−ｎ・・・@ を調べておいて，１または共通の素因数が多く出る@の組み合わせにも相当精通していたのでしょう． 
これまでの計算を見て分かるように，一般の安島三角形の３辺の長さはとても大きくなります．
そこで，以下は電卓を用いて計算してみます．３辺の長さが５１，５２，５３の三角形が面積も整数なので，この三角形を基にして安島三角形を作ります． 正三角形に近い安島三角形を作ろうというのです． 三角比を計算すると cosＡ＝28/53,sinＡ=45/53, cosＢ=451/901,sinＢ=780/901, cosＣ=8/17,sinＣ=15/17 となります． 
したがって，使う３つの三角形は右図です．２８，４５１，８の最小公倍数は２５２５６であり 25256/28=902, 25256/451=56, 25256/8=3157 であるから，３つの三角形をそれぞれ902,56,3157倍すると 
右図の三角形になり，頂点Ａ，Ｂ，Ｃを重ねて三角形を作ると
右下図になります．次に，２辺に接し互いに外接する３円の半径を求めます． ｘ＝（４７８０６＋２５２５６−４０５９０）/２ ＝１６２３６ ｙ＝（５０４５６＋２５２５６−４３６８０）/２ ＝１６０１６ ｚ＝（５３６６９＋２５２５６−４７３５５）/２ ＝１５７８５ したがって，円の半径ｒ１，ｒ２，ｒ３は ｒ１＝yｚ/ｘ＝１４０１４０/９ ｒ２＝ｚｘ/ｙ＝８３２０９５/５２ ｒ３＝ｘｙ/ｚ＝８２３６８/５ 最後に円の半径が整数になるように全体を９×５２×５＝２３４０倍して出来上がりです． 求める安島三角形の辺の長さは 197191800，213021900，205791300 となります． 第４節 三角形から切り取れる面積の和が最大の２つの円 Malfattiの問題の目次 全体の目次 |