いろいろな立体の問題

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第８節　立体図形の入試問題（解答）

＜解説＞
この問題は関数

$f(x)=\dfrac{x}{1-x^2}$
は

$x=1$ では定義できないが

$\displaystyle \int_0^1f(x)dx(=\lim_{t \to 1-0}\int_0^tf(x)dx)$
を求める必要があるところだけでなく，それを区分求積法で求め，さらにその推論の中で論理性を保って議論するところに難しさがある．

この問題は，回転体の側面積を求める方法示している．この問題の解答の方法にしたがって，回転体の側面積を求める公式を導き出そう．

なおここで，解答の中で示しておいた，

$\angle B=\angle C=90^{\circ}$ の台形

$ABCD$ が

$AB=a,CD=b,AD=c$
のとき，この台形を辺

$BC$ の周りに１回転して得られる円錐台の側面積は

$\pi c(a+b)$
であることを用いる．

$y=f(x) \ \ (a\leqq x\leqq b)$ を

$x$ 軸の周りに回転した曲面の表面積を求める．
閉区間

$[a,b]$ を

$n$ 等分した分点を

$x_1,x_2,\cdots,x_{n-1}$

$\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$
とおく．

$P(x_k,f(x_k)),Q(x_{k+1},f(_{k+1}))$ とする．
直線

$PQ$ の傾きを

$m$ とすれば，

$PQ=\sqrt{1+m^2}\Delta x$
であり，平均値の定理より

$m=f'(c_k) \ \ \ (x_k$ ＜

$c_k$ ＜

$x_{k+1})$
を満たす

$c_k$ が存在する．
弧

$PQ$ を回転した曲面の面積を線分

$PQ$ を回転した円錐台の側面積で近似すれば，

$\pi (f(x_k)+f(x_{x+1}))\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x$
となる．
したがって，求める表面積は

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}\pi (f(x_k)+f(x_{x+1}))\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x =2\pi \int_a^bf(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx$
となる．

これは，面積や体積を定積分で表したのと同じ考え方で説明することもできる．

$y=f(x) \ \ (a\leqq x\leqq b)$ を

$x$ 軸の周りに回転した曲面の表面積を求めるのに,

$y=f(x)$ を

$x$ 軸の周りに回転して得られる回転面のうち，

$x=a$ と

$x=x$ の間の部分の面積を

$S(x)$ とおく．
ここで，

$\dfrac{S(x+h)-S(x)}{h}$

$\fallingdotseq \dfrac{\pi (f(x)+f(x+h))\sqrt{1+f'(x+\theta h)^2}h}{h}$

$\longrightarrow 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2} \ \ (h \to 0 )$
したがって，回転面の面積は

$\displaystyle 2\pi \int_a^bf(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx$
で得られる.

例
この公式を用いて半径

$r$ 球面の表面積を求めてみよう．

$x^2+y^2=r^2$
の両辺を

$x$ で微分して，

$y'=-\dfrac{x}{y}$

$x=0,x=t (0$ ＜

$t$ ＜

$r)$ で挟まれた部分を回転して得られる球の一部分の表面積は

$\displaystyle 2\pi \int_0^ty\sqrt{1+y'^2}dx$

$\displaystyle =2\pi \int_0^ty\sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{y^2}}dx$

$\displaystyle =2\pi \int_0^trdx=2\pi rt$
ここで

$t \to r$ より半球の表面積は

$2\pi r^2$ を得る．

この問題は，回転面の公式を導き出し解けば簡単に解けるなどと考えてはいけない．
例えば微分の計算は定義にしたがって求めるのは公式を用いることよりはるかに面倒であるが，微分の意味が分かるということで大切です．
この問題も円錐台の側面積を利用して球の表面積を求めるという推論ができるかが出題の意図であり，球の表面積を現在の知識だけで厳密に求めることができることに目を向けて欲しい．
決して答えを得ることが目的ではありません．

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