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＜解説＞ 斜円錐を底面に平行な平面で切ったときの切り口は当然円ですが，切り口が円になるもう一つの切り方があることが この問題より分かります． 
ここではこの内容を解説します．問題の斜円錐を見てみましょう． 問題では，斜円錐を$xy$平面と平面$z=y$で切った切り口を考えていますが，切り口が重ならないほうが見やすいので，ここでは， 切り口の平面を$xy$平面と平面$z=y+1$とします． 当然切り口の図形はともに円となります． 斜円錐の頂点$P$および$P$より$xy$平面におろした垂線の足$O$,および影$S$の輪郭である円の中心$O'$，この３点$P,O,O'$の決める平面は $yz$平面である． この平面を与えれれた斜円錐の主平面とよぶ．斜円錐を扱うときこの主平面が重要な役割を演ずる． 斜円錐の主平面と平面$z=y+1$上の切り口の円との交点を$A,B,xy$平面上の切り口の円との交点のうち，$O$でないほうを$D$とする． 
主平面上で考えると，四角形$ODBA$は$\angle O=\angle B =90^{\circ}$ を満たすので，円に内接します． これから解説しますが，円に内接することが，斜円錐の切り口が円になるための条件になります． 
いくつかの定義をします．定義 $\triangle ABC$ で辺$AB,AC$またはその延長上にそれぞれ$D,E$をとる．ただし，$BC$と$AD$は平行でないとする． ４点$B,C,D,E$が同一円周上にあるとき，直線$DE$と直線$BC$は逆平行であるという． 平行なら同位角が等しい．逆平行なら右の左図で $\angle B=\angle AED$ が成り立つ． 当然$DE,FG$が$BC$と逆平行なら$DE$と$FG$は平行です． 
定義斜円錐において，頂点$V$から底面の円$O$を含む平面下した垂線の足を$H$とする． ３点$V,O,H$で決まる平面をこの斜円錐の主平面といい，斜円錐と主平面との交線を主母線という． また，底面の円を含む平面と主平面との交線を$l$とする． 主平面と垂直な平面で，主平面との交線$m$が$l$と逆平行であるものを底面に逆平行であるという． ここで示すことはまず次の命題です． 
命題1斜円錐において，底面と逆平行な平面による切り口は円になる． 証明 右図で，$VA,VB$が主母線である．すなわち３点$V,A,B$で決まる平面がこの斜円錐の主平面である． 底面と逆平行な平面と斜円錐との交線と主母線$VA,VB$との交点をそれぞれC,Dとし，さらにこの交線 上に点Pをとり，Pを通り底面と平行な平面と斜円錐の交線である円と 主母線$VA,VB$との交点をそれぞれ$E,F$とする． 底面と平行な平面と底面と逆平行な平面はともに，主平面と垂直であるから，その交線は主平面に垂直であり， $EF$と$CD$の交点を$R$とすると， $PR \perp EF,PR \perp CD$ が成り立つ． 次に主平面上で考える．$CD,EF$は逆平行であるから，４点$C,E.D.F$は同一円周上にある． 方べきの定理より $CR\cdot DR=ER \cdot FR$ 一方，$P$は$EF$を直径とする円上にあるから $ER \cdot RF=PR^2$ $\therefore CR \cdot DR=PR^2$ したがって，$P$は$CD$を直径とする円上にあることがわかった． 
話を続けよう．右図は，命題の斜円錐を主平面すなわち，主母線$VA,VB$を含む平面で切った切り口の図形である． また$O_1,O_2$はそれぞれ命題１における直径が$AB,CD$である円の中心である． ４点$A,B,C,D$は同一円周上にある.その円の中心を$O$,半径を$r$とすると，円$O_1,O_2$を含む平面は主母線と垂直である から円$O_1$および円$O_2$はともに$O$を中心とする半径$r$球面上にあることが分かる． すなわち次の命題が証明された． 命題2 斜円錐の底面の円と底面と逆平行な平面による切り口の円は同一球面上のある． 逆の命題も成り立つ． 
命題3空間における２円$O_1,O_2$が同一球面上のあればその２円は斜円錐上にある． 証明 円$O_1$を含む平面と円$O_2$を含む平面が平行であるときその２円は直円錐上にある． したがって，それぞれの円を含む平面が平行でないとき示せばよい． 2円$O_1,O_2$を含む球の中心を$O$とし，３点$O,O_1,O_2$を含む平面上で考える． この平面と円$O_1$との交点を$A,B$,円$O_2$との交点を$C,D$とし2直線$AC,BD$の交点を$V$とする． ここで$V$を頂点，底面が円$O_1$の斜円錐を考える．このとき,円$O_2$を含む平面は底面と逆平行であるから 命題1より切り口の図形は円である．一方円$O_2$は$CD$を直径とする円であるので斜円錐の底面と逆平行な平面による 切り口と一致するので，円$O_2$は$V$が頂点，円$O_1$が底面である斜円錐上にあり，２円$O_1,O_2$が１つの斜円錐上にあることが証明された． ＜注意＞ 証明から分かるように，２円$O_1,O_2$を含む斜円錐は２つある．実際，命題3図でいえば， もう一つ$AD,BC$の交点を$V'$としたときの，$V'$を頂点とする底面が円$O_1$の斜円錐も２円$O_1,O_2$を含む斜円錐である． 戻る 目次 全体の目次 |