いろいろな立体の問題 第9節　ベクトルの外積 4.内積の復習 外積の分配法則が証明できれは大きな問題はありません．後は，外積をどのように使うかを学ぶだけですが，先を急がず， ここで内積の復習をしましょう． ２つのベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$\overrightarrow{a}$と $\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$は $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\stackrel{\text{定義}}{=} |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$ と定義した． ここで，内積の分配法則 $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}+ \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$ はどのように証明したかを思い出してみよう． 高校の教科書では， $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)$ と成分表示したとき,余弦定理より $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2$ が成り立つことをまず示してから，分配法則が成り立つことを証明している． これは，どのように教えれば高校生が理解しやすいかを十分に検討した上でこの方法を取っているのであろうが， 決してよい方法ではない． というのは，内積を定義したとき，分配法則は基本となる等式で，理論を構成するときは 定義から導き出すべきものである． 分配法則を導き出すのに，内積の定義を変形してそれを利用して証明するのはあまりよくありません． それは，その変形のなかに これから証明する分配法則の性質を用いていないかを注意深く見る必要があるからです． このような点はありますが，高等学校では，内容を論理的に構成するというよりは，上述したように内容をいかにわかりやすく 伝えるかが重要です．そのような見地に立って高校の課程が作られているからでしょう． ここでは，内積の定義より得られる内積の図形的性質を利用して分配法則を証明します． $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$の始点を重ねてその点を$O$とし，２点$A,B$を $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},$ さらに，$B$より直線$OA$に下した垂線の足を$B'$とする．また，$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ のなす角を$\theta$とすると， $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=OA\cdot OB\cos \theta =OA\cdot OB'$ であるから，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の図形的意味は，$\overrightarrow{a}$の大きさと $\overrightarrow{b}$の直線$OA$への正射影ベクトルの大きさの積である．ただし，向きが逆のときは$-$をつける． この定義から分かるように， $\overrightarrow{b}$の直線$OA$への正射影ベクトルは，$\overrightarrow{a}$と同じ向きの単位ベクトルを$\overrightarrow{e}$ とすれば $(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{e})\overrightarrow{e}$ となる． 内積の図形的性質を用いた分配法則 $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c} +\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$ の証明は次のようになる． まず，$\overrightarrow{c}$が単位ベクトルのとき証明する． $\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}$の始点をそろえ，その点を$O$とする． ３点$A,B,C$を $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$ で定義する． $A,B$から直線$OC$に下した垂線の足をそれぞれ$A',B'$とすれば， $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=OA',\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=A'B',$ $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{c}=OB'$ であるから， $\overrightarrow{c}$が単位ベクトルのとき， $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c} +\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$ が成り立つことがわかる． $\overrightarrow{c}$が一般のときは， $\overrightarrow{c}$と同じ向きの単位をベクトルを$\overrightarrow{c_1},|\overrightarrow{c}|=k$とおけば $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}$ $=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot k\overrightarrow{c_1}$ $=k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c_1}$ $=k(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c_1}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c_1})$ $=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$ また $\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$ $=(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\cdot \overrightarrow{a}$ $=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$ $=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$ より $\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$ $=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$ が成り立つことも分かる． 続く 目次