いろいろな立体の問題 第9節　ベクトルの外積 3.外積の性質(その1) ここでは，外積で成り立つ性質を調べます． 命題1 次の等式が成り立つ． $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}$ この命題は，$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}$は大きさは 同じで向きが逆であるから成り立ちます． 命題2 次の等式が成り立つ． $(\alpha \overrightarrow{a})\times \overrightarrow{b}=\alpha (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$ ただし$\alpha$は実数． $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の決める平行四辺形の面積と$\overrightarrow{a}$と$-\overrightarrow{b}$の決める平行四辺形の 面積は等しい．$(\because \sin (\pi -\theta)=\sin \theta)$ また$\alpha$が正でも負でも$(\alpha \overrightarrow{a})\times \overrightarrow{b}$の向きと $\alpha (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$の向きは一致するから命題２が成り立つことが分かる． 命題1,2より $\overrightarrow{a} \times (\alpha \overrightarrow{b})=-(\alpha \overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{a}$ $=-\alpha (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a})=\alpha (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$ したがって，次の命題が成り立つ． 命題3 次の等式が成り立つ． $(\alpha \overrightarrow{a})\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\times (\alpha \overrightarrow{b}) = \alpha (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$ ただし$\alpha$は実数． さて，次は分配法則です．この証明が外積の解説で一番苦労するところで，高校生が十分に理解できる証明であるなら，高校教育に 外積がもっと浸透するでしょう． ここでは外積の図形的な意味を明らかにすることにより，図形的に証明します． 命題4 次の等式が成り立つ． $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\times \overrightarrow{c} =\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}$ まず，$\overrightarrow{c}$が単位ベクトルのとき証明し，それを用いて一般の場合に証明する． $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}$が図形的にどのベクトルになるかを示す． ２つのベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}$の始点をそろえ，その点を$O$とする． また，$O$を通り$\overrightarrow{c}$に垂直な平面を平面$\alpha$とする． $A$を $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ で定め，$A$より平面$\alpha$に下した垂線の足を$A_1$とする． $\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}$のなす角を$\theta$とすると， $OA_1=|\overrightarrow{a}|\sin \theta$ であるから，$OA_1$の長さは$|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}|$と一致する． さらに向きは，$\overrightarrow{a},\overrightarrow{c},\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}$が この順に右手系をなす向きであるから， 平面$\alpha$上を点$A_1$から$\overrightarrow{c}$の向くほうを上に見て，$O$の周りに，時計回りの方向に$\frac{\pi}{2}$だけ 回転した点を$A_2$とすると $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{OA_2}$ である． 準備が整いました．$\overrightarrow{c}$が単位ベクトルのとき， $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\times \overrightarrow{c} =\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}$ が成り立つことを証明します． $\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}$の始点をそろえ，その点を$O$とする．また，$O$を通り$\overrightarrow{c}$に 垂直な平面を平面$\alpha$とする． $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}$ によって$A,B$をさだめ，$A,B$より平面$\alpha$に下した垂線の足をそれぞれ$A_1,B_1$とする． また，$A_1,B_1$を平面$\alpha$上，$\overrightarrow{c}$の向きを上にして$O$の周りに時計回りの方向に$\frac{\pi}{2}$ だけ回転した点をそれぞれ$A_2,B_2$とする． ここで，$\triangle OA_1B_1$と$\triangle OA_2B_2$に注目すると，平面$\alpha$上で，$O$の周りに$\triangle OA_1B_1$ を$\frac{\pi}{2}$だけ回転したのが$\triangle OA_2B_2$である．その辺である$\overrightarrow{A_1B_1}$を$O$の周りに$\frac{\pi}{2}$回転すると$\overrightarrow{A_2B_2}$ となるから $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{OA_2},$ $\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{A_2B_2},$ $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{OB}\times \overrightarrow{c}= \overrightarrow{OB_2}$ したがって， $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}$ $=\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{A_2B_2}$ $=\overrightarrow{OB_2}=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\times \overrightarrow{c}$ 以上で，$\overrightarrow{c}$が単位ベクトルのとき $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\times \overrightarrow{c} =\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}$ が成り立つことが証明された． この命題が証明されれば，後は機械的に示すことができる． $\overrightarrow{c}$が単位ベクトルでないとき， $\overrightarrow{c}$と同じ向きの単位ベクトルを$\overrightarrow{c_1},|\overrightarrow{c}|=k$とおけば， $\overrightarrow{c}=k\overrightarrow{c_1}$であるから $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\times \overrightarrow{c}$ $=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\times k\overrightarrow{c_1}$ $=k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\times \overrightarrow{c_1}$ $=k\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c_1}+k\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c_1}$ $=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}$ また $\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$ $=-(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\times \overrightarrow{a}$ $=-\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}$ $=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}$ まとめると次の命題になる． 命題5 次の等式が成り立つ． $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\times \overrightarrow{c} =\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}$ $\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) =\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}$ 続く 目次