いろいろな立体の問題 第9節 ベクトルの外積 今まで，空間図形の性質を調べるときにベクトルの外積を使ってきました． 高等学校のカリキュラムには入っていないので外積について不慣れ方もいるかもしれません． 分かりやすくまとめておくので参考にしていただきたい． 
1.右手系まず，空間における３つのベクトルが右手系をなすという意味を説明します． 空間内で，同一平面上にない（１次独立ともいう）３つのベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ について，親指，人差し指，中指を右図のように自然に伸ばし，$\overrightarrow{a}$を親指の方向， $\overrightarrow{b}$を薬指の方向にあわせたとき， もし$\overrightarrow{c}$が中指の方向であるとき， この３つのベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$はこの順に 右手系をなすという． ３つの１次独立なベクトルが右手系をなさないとき左手系をなすという． この定義から分かるように，右手系であるとは，３つのうちの２つずつが垂直である必要はありません．一般の１次独立な３つのベクトルで定義される 概念です. この決め方を少し言い方を変えれば， ３つのベクトルの始点をそろえたとき，右手の自然に伸ばした指で， $\overrightarrow{a}$を親指の方向，$\overrightarrow{b}$を薬指の方向に$\overrightarrow{c}$を中指の方向にできるとき $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$をこの順に右手系をなすという． という意味です． これは少し無理があります． 親指と人差し指はどう開いても$120^{\circ}$ぐらいしか開かないし，伸ばした中指を 親指の方に近づけるのには限界があります． このように無理がある定義ですが，内容が容易に理解できるのでよく用いられます．また，右手は自由に扱えるので， 空間内に３つのベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$が与えられたとき， すぐには右手系か左手系か分からないときがあるのですが，右手を用いて判断できるのでとても便利です． 次のように右手系を定義することもあります． ３つのベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$の始点をそろえて， $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$の決める平面上で，$\overrightarrow{a}$から$\overrightarrow{b}$に向かって回転したとき（ $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が$180^{\circ}$より小さい方向に回転するということ）とき， 右ねじの進む側とそうでない側とに空間が２つに分かれますが$\overrightarrow{c}$の終点が 右ねじの進む側にある時，３つのベクトル $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$がこの順に右手系をなすといいます． 
なお，右ねじの進む方向とは通常のねじのことですが，右図のように親指だけ伸ばした状況において，
親指以外の指例えば人差し指の方向に回転したとき親指の進む方向のことです．右下図で，$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$は右手系をなし， $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{d}$は左手系をなします． 
説明が長くなりましたが，３つのベクトルが右手系であるとは，定義から３つのベクトルの並ぶ順番も関係しています． 空間のベクトルにおける右手系，左手系は平面ベクトルのなす角の鋭角，鈍角に対応する重要な概念です． 2.外積の定義 空間における２つのベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$の外積$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ を定義する．ベクトルは向きと大きさで決まるのでこの２つの定義すればよい． 大きさは，$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$の決める平行四辺形の面積である． すなわち，$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とおくと $|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta$ 次に$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$の向きである． 向きは，$\overrightarrow{a}$にも$\overrightarrow{b}$にも垂直で， さらに$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$と右手系をなす向きと定義する． $\overrightarrow{n}$を$\overrightarrow{a}$とも$\overrightarrow{b}$とも垂直で $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{n}$がこの順に右手系をなす単位ベクトルと定めれば， 空間における２つのベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$の外積$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$は $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\stackrel{\text{定義}}{=}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta \overrightarrow{n}$ と定義される． 続く 目次 |