いろいろな立体の問題 第7節 双曲線(その7) 例題２ $xyz$空間において，２点$P(1,0,1),Q(-1,1,0)$を考える．線分$PQ$を$x$軸の周りに１回転して得られる曲面$S$とする． (1) 曲面$S$と，２つの平面$x=1$,および$x=-1$で囲まれる立体の体積を求めよ． (2) (1)の立体の平面$y=0$による切り口を平面$y=0$上に図示せよ． (3) 定積分$\int_0^1\sqrt{t^2+1}dt$の値を$t=\frac{e^2-e^{-s}}{2}$と置換することにより求め，これを用いて(2)の切り口の 面積を求めよ． （平成22年 早稲田大） 
解答(1) 線分$PQ$上の点を$T$とする． $\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OQ}+s\overrightarrow{QP}$ $=(-1+2s,1-s,s)$・・・@ 平面$x=t$と線分PQとの交点の座標は $-1+2s=t$ より $s=\dfrac{t+1}{2}$ を@に代入し $(t,\dfrac{1-t}{2},\dfrac{t+1}{2})$ したがって，曲面$S$を平面$x=t$で切ったときの切り口の曲線は$(t,0,0)$を中心とする半径 $\sqrt{(\dfrac{1-t}{2})^2+(\dfrac{t+1}{2})^2}=\sqrt{\dfrac{1+t^2}{2}}$ の円である． 求める体積は $\displaystyle \pi\int_{-1}^1\dfrac{1+t^2}{2}dt=\dfrac{4\pi}{3}$ (2),(3) 曲面$S$を平面$x=t$で切ったときの切り口の曲線は$(t,0,0)$を中心とする半径 $\sqrt{\dfrac{1+t^2}{2}}$ であるから，この曲面は $x=t,y^2+z^2=\dfrac{1+t^2}{2}$・・・A Aより$t$を消去して $y^2+z^2=\dfrac{1+x^2}{2}$ $y=0$を代入し $z^2=\dfrac{1+x^2}{2}$ (3) $z=\pm \dfrac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{2}}$ であるので，切り口の面積は対称性を考え $\displaystyle 2\sqrt{2}\int_{0}^1\sqrt{1+x^2}dx$ $x=\sinh t$と置き，$\sinh t_0=1$によって$t_0$を定めると $\displaystyle \int_0^1\sqrt{1+x^2}dx$ $\displaystyle =\int_0^{t_0}\cosh t \cosh t dt$ $\displaystyle =\int_0^{t_0}\dfrac{1+cosh2t}{2}dt$ $=\dfrac{t_0}{2}+\dfrac{\sinh 2t_0}{4}$ ここで$\sinh t_0=1,\cosh t_0=\sqrt{2}$,さらに $t_0=\log (1+\sqrt{2})$ より $=\dfrac{\log (1+\sqrt{2})+\sqrt{2}}{2}$ 切り口の面積は $\displaystyle 2\sqrt{2} \int_0^1\sqrt{1+x^2}dx$ $=\sqrt{2}\log (1+\sqrt{2})+2$ 続く 目次 |