いろいろな立体の問題 第7節　双曲線(その6) 次に，双曲線関数$\sinh s,\cosh s$を用いて解いてみよう． 解答２ 曲線$y=\sqrt{x^2+1}$は $x=\sinh s$ とおくと， $y=\cosh s$ そこで $t=\sinh s_0=\dfrac{e^{s_0}-e^{-s_0}}{2}$ で$s_0$を定義すると， $\displaystyle S_1=\int_0^{t}\sqrt{x^2+1}dx$ $\displaystyle =\int_0^{s_0}\cosh ^2sds$ $\displaystyle =\int_0^{s_0}\dfrac{1+\cosh 2s}{2}ds$ $=\dfrac{s_0}{2}+\dfrac{\sinh 2s_0}{4}$ ここで， $s_0=\log (t+\sqrt{t^2+1}),t=\sinh s_0,\cosh s_0=\sqrt{1+t^2}$ $\therefore S_1=\dfrac{\log (\sqrt{t^2+1}+t)+t\sqrt{1+t^2}}{2}$ 最後に，媒介変数表示 $x=\dfrac{s-\frac{1}{s}}{2},y=\dfrac{s+\frac{1}{s}}{2}$ を利用して，$S_1$を求めてみよう． 解答3 $\displaystyle S_1=\int_0^{t}\sqrt{x^2+1}$ $x=\dfrac{s-\frac{1}{s}}{2}$ とおく． また，$s_0$を $t=\dfrac{s_0-\frac{1}{s_0}}{2}$・・・�@ で定義する． このとき $s_0=t+\sqrt{t^2+1}$ であるから $\displaystyle =\int_1^{s_0}\dfrac{s+\frac{1}{s}}{2}\cdot \dfrac{1+\frac{1}{s^2}}{2}ds$ $=\dfrac{s_0^2-\frac{1}{s_0^2}}{8}+\log S_0$ ここで，�@より $t^2=(\dfrac{s_0-\frac{1}{s_0}}{2})^2=(\dfrac{s_0+\frac{1}{s_0}}{2})^2-1$ $\therefore \dfrac{s_0+\frac{1}{s_0}}{2}=\sqrt{t^2+1}$ したがって， $S_1=\dfrac{\log (\sqrt{t^2+1}+t)+t\sqrt{1+t^2}}{2}$ 続く 目次