いろいろな立体の問題 第7節　双曲線(その3) 双曲線の媒介変数表示は$\cosh t,\sinh t$を用いるのが一般的である．実際双曲線関数に関する公式が 三角関数の公式を同じように整備されているので，双曲線が円と同じようにあつかえる． とはいっても高校生に対しては話は別である．双曲線関数を指導する余裕はないし，双曲線関数の公式を知らないとすると $x=\dfrac{e^t+e^{-t}}{2},y=\dfrac{e^t-e^{-t}}{2}$ のまま計算することになり，それなりの計算が必要になる． また，$\sqrt{x^2-1}$の不定積分を覚えろなんていうばかげた指導はしないであろう． そこで，もう１つお勧めなのが曲線$xy=1$より得られる媒介変数表示である． 双曲線$y=\frac{1}{x}$は $x=t,y=\dfrac{1}{t}$ さらに，双曲線$xy=1$を原点の周りに$-\frac{\pi}{4}$だけ回転して原点を中心として$\frac{1}{\sqrt{2}}$倍の相似変換をすると 双曲線$x^2-y^2=1$が得られる．すなわち $xy=1 \mapsto x^2-y^2=1$ である１次変換を表す行列 $\dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ を用いて， $\dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ \dfrac{1}{t} \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} \dfrac{t+\frac{1}{t}}{2} \\ \dfrac{-t+\frac{1}{t}}{2} \end{pmatrix}$ このようにして，双曲線$x^2-y^2=1$の媒介変数表示 $x=\dfrac{t+\dfrac{1}{t}}{2},y=\dfrac{-t+\dfrac{1}{t}}{2}$ が得られる．なお，この双曲線上の点Pに対応する媒介変数表示のtの値は， OPの延長と双曲線$x^2-y^2=2$との交点をQとし，点Qから漸近線$y=-x$に下した垂線の足をH としたときのOHである．双曲線$x^2-y^2=2$が楕円の媒介変数表示を考えたときの補助円の役割をしている． 続く 目次