いろいろな立体の問題 第7節　双曲線(その2) ついでに，$\int \sqrt{x^2+1}dx$も求めましょう． $y=\sqrt{x^2-1}$と$y=\sqrt{x^2+1}$は第一象限に限定すれば互いに逆関数ですから， $y=\sqrt{x^2+1}$は$y=\sqrt{x^2-1}$をy軸側から見たものです． 右図で，$OP,OA$,双曲線で囲まれた部分の面積は$\frac{t}{2}$ ただし， $t=\log (x+\sqrt{x^2-1})=\log (\sqrt{y^2+1}+y)$ さらに，$\triangle OPH$の面積は $\dfrac{xy}{2}=\dfrac{y\sqrt{1+y^2}}{2}$ したがって， $\displaystyle \int_0^y\sqrt{y^2+1}dy=\dfrac{\log (\sqrt{y^2+1}+y)+y\sqrt{1+y^2}}{2}$ 不定積分で表せば $\displaystyle \int \sqrt{y^2+1}dy=\dfrac{\log (\sqrt{y^2+1}+y)+y\sqrt{1+y^2}}{2}+C$ この式も右辺を微分して確認してみましょう． 話を曲線 $y=\sqrt{x^2-1}$ に戻そう． 双曲線上の点$P(x,y)$と$t$の関係は $t=\log (x+\sqrt{x^2-1})$ であった． $x$について解けば $x=\dfrac{e^t+e^{-t}}{2}$ さらに $x^2-y^2=1$ より $y=\dfrac{e^t-e^{-t}}{2}$ 作り方から，この２つの関数に$\sin,\cos$と似た名前をつけることに違和感を感じないだろう．実際 $\cosh t \stackrel{\mathrm{def}}{=}\dfrac{e^t+e^{-t}}{2}$ $\sinh t \stackrel{\mathrm{def}}{=}\dfrac{e^t-e^{-t}}{2}$ $\tanh t \stackrel{\mathrm{def}}{=}\dfrac{\cosh t}{\sinh t}$ と定める．これらの関数$\cosh,\sinh,\tanh$を双曲線関数という． 双曲線$x^2-y^2=1$の媒介変数表示は $x=\cosh t,y=\sinh t$ が一般的です．当然 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の媒介変数表示は $x=a\cosh t,y=b\sinh t$ となります． また，双曲線$x^2-y^2=1$と双曲線$x^2-y^2=-1$とは直線$y=x$に関して対称であるから， 双曲線$x^2-y^2=-1$の媒介変数表示は $x=\sinh t,y=\cosh t$ となります． 続く 目次