いろいろな立体の問題

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いろいろな立体の問題

第7節　双曲線(その2)

ついでに，

$\int \sqrt{x^2+1}dx$ も求めましょう．

$y=\sqrt{x^2-1}$ と

$y=\sqrt{x^2+1}$ は第一象限に限定すれば互いに逆関数ですから，

$y=\sqrt{x^2+1}$ は

$y=\sqrt{x^2-1}$ をy軸側から見たものです．右図で，

$OP,OA$ ,双曲線で囲まれた部分の面積は

$\frac{t}{2}$
ただし，

$t=\log (x+\sqrt{x^2-1})=\log (\sqrt{y^2+1}+y)$
さらに，

$\triangle OPH$ の面積は

$\dfrac{xy}{2}=\dfrac{y\sqrt{1+y^2}}{2}$
したがって，

$\displaystyle \int_0^y\sqrt{y^2+1}dy=\dfrac{\log (\sqrt{y^2+1}+y)+y\sqrt{1+y^2}}{2}$
不定積分で表せば

$\displaystyle \int \sqrt{y^2+1}dy=\dfrac{\log (\sqrt{y^2+1}+y)+y\sqrt{1+y^2}}{2}+C$
この式も右辺を微分して確認してみましょう．

話を曲線

$y=\sqrt{x^2-1}$
に戻そう．
双曲線上の点

$P(x,y)$ と

$t$ の関係は

$t=\log (x+\sqrt{x^2-1})$
であった．

$x$ について解けば

$x=\dfrac{e^t+e^{-t}}{2}$
さらに

$x^2-y^2=1$
より

$y=\dfrac{e^t-e^{-t}}{2}$
作り方から，この２つの関数に

$\sin,\cos$ と似た名前をつけることに違和感を感じないだろう．実際

$\cosh t \stackrel{\mathrm{def}}{=}\dfrac{e^t+e^{-t}}{2}$

$\sinh t \stackrel{\mathrm{def}}{=}\dfrac{e^t-e^{-t}}{2}$

$\tanh t \stackrel{\mathrm{def}}{=}\dfrac{\cosh t}{\sinh t}$
と定める．これらの関数

$\cosh,\sinh,\tanh$ を双曲線関数という．
双曲線

$x^2-y^2=1$ の媒介変数表示は

$x=\cosh t,y=\sinh t$
が一般的です．当然

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の媒介変数表示は

$x=a\cosh t,y=b\sinh t$
となります．
また，双曲線

$x^2-y^2=1$ と双曲線

$x^2-y^2=-1$ とは直線

$y=x$ に関して対称であるから，
双曲線

$x^2-y^2=-1$ の媒介変数表示は

$x=\sinh t,y=\cosh t$
となります．

続く

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