いろいろな立体の問題 第7節　双曲線(その1) 前節で扱った，一葉双曲面 $x^2+y^2-z^2=1$ の媒介変数表示を求めよう． この曲面を平面$y=0$で切ると切り口の曲線は双曲線 $x^2-z^2=1$ である． したがって，まず$xy$平面における双曲線 $x^2-y^2=1$・・・�@ の媒介変数表示から始めよう． �@の媒介変数表示は，通常三角関数の等式 $1+\tan ^2 \theta =\dfrac{1}{\cos ^2 \theta}$ を利用して $x=\dfrac{1}{\cos \theta},y=\tan \theta$ を用いるが，双曲線に関する面積を求めるときは計算が複雑になる場合が多い． ここでは他の方法も考える． 原点を中心とする単位円の媒介変数表示を思い出し，その方法と同じように双曲線の媒介変数表示を導きだそう． 単位円の媒介変数表示は，円周上の点$P$に対して弧$AP$の長さ$t$を用いて $x=\cos t,y=\sin t$ と表した． 双曲線の線の長さを求めるのは難しので，扇形$OAP$の面積を利用して， 扇形$OAP$の面積が$\frac{t}{2}$のとき $x=\cos t,y=\sin t$ と単位円の媒介変数表示を書き直し，この方法をそのまま双曲線に利用しよう． すなわち，双曲線 $x^2-y^2=1$ 上の点$P$に対して，線分$OA,OP$および双曲線で囲まれた面積を$\frac{t}{2}$とし，この$t$で点$P$の$x$座標，$y$座標を 表すのである．ただし$A(1,0)$. この方法が広く用いられている双曲線の媒介変数表示である． それでは実際に求めよう．なお，ここでは話を単純にするため，$x,y,t$＞$0$,すなわち第１象限で考える． 双曲線$x^2-y^2=1$すなわち$y=\sqrt{x^2-1}$上の点を$P(x,y),(x$＞$0,y$＞$0)$とおいて，線分$OA,OP$および双曲線で囲まれた面積を$x,y$を用いて 表す．ただし$A(1,0).$その後，$x,y$を$t$について解くのである． $\sqrt{x^2-1}$の積分が分かればそのまま計算すればよいが（この積分は後で述べる），ここでは$\frac{\pi}{2}$だけ回転して もとめることにする． 双曲線 $x^2-y^2=1$および$P(x,y),A(1,0)$ を原点の周りに$\frac{\pi}{4}$だけ回転するとそれぞれ $y=\dfrac{1}{2x},P(\dfrac{x-y}{\sqrt{2}},\dfrac{x+y}{\sqrt{2}}),A(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}})$ である．さらに右図で $\triangle OQP=\triangle ORA$ であるから，$OA,OP$,双曲線で囲まれた面積は $\displaystyle \int_{\frac{x-y}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\dfrac{1}{2x}dx$ $=\dfrac{1}{2} \cdot \log \dfrac{1}{x-y}$ $=\dfrac{1}{2} \cdot \log \dfrac{1}{x-\sqrt{x^2-1}}$ $=\dfrac{1}{2} \cdot \log (x+\sqrt{x^2-1})$ この値が$\frac{t}{2}$であるから $t=\log (x+\sqrt{x^2-1})$ をえる． この関係式より， $\displaystyle \int \sqrt{x^2-1} dx$ が分かる．実際，右図の双曲線は $y=\sqrt{x^2-1}$ であるから，面積の関係より $\displaystyle \dfrac{t}{2}+\int_0^x\sqrt{x^2-1}dx=\dfrac{xy}{2}=\dfrac{x\sqrt{x^2-1}}{2}$ ここで， $t=\log (x+\sqrt{x^2-1})$ であるから， $\displaystyle \int \sqrt{x^2-1}=\dfrac{1}{2} \cdot \{x\sqrt{x^2-1}-\log (x+\sqrt{x^2-1})\}+C$ となります．実際に右辺を微分し，この等式が成り立つことを確かめましょう． 続く 目次