いろいろな立体の問題 第6節　線織面(その5) 一葉双曲面 $x^2+y^2-z^2=1$ の母線はもう一つあります． すなわち， $x^2+y^2-z^2=1$ $(x+z)(x-z)=(1+y)(1-y)$ より $(x-z):(1+y)=(1-y):(x+z)=s:1$ したがって， $x-z=s(1+y)$・・・�B かつ $1-y=s(x+z)$・・・�C 平面�Bの法線ベクトルは $(1,-s,-1)$ 平面�Cの法線ベクトルは $(s,1,s)$ $(1,-s,-1)\times (s,1,s)=(-s^2+1,-2s,1+s^2)\neq \overrightarrow{0}$ より２平面�B，�Cは平行になることがないので，交線が必ず存在し，その直線が一葉双曲面 $x^2+y^2-z^2=1$ の母線となります． すなわち，一葉双曲線$x^2+y^2-z^2=1$には２種類の母線がある線織面であることが分かりました． 次に２つの母線 $\begin{cases} x-z=t(1-y) & \text{・・・�@}\\ 1+y=t(x+z) & \text{・・・�A} \end{cases}$ および $\begin{cases} x-z=s(1+y) & \text{・・・�B}\\ 1-y=s(x+z) & \text{・・・�C} \end{cases}$ が交わるか平行であることを示す．そのためには任意の$t,s$に対して�@から�Cまでの４つの等式を満たす$x,y,z$ が存在するかまたは平行であることを示せばよい． �@−�Bより $t(1-y)=s(1+y)$ �A×s−�C×tより $s(1+y)=t(1-y)$ と同じ式になるから�@，�A，�Bより$x,y,z$が求まればよい． �@，�A，�Bを行列を用いて表したのときの行列の行列式は $det\begin{pmatrix} 1 & t & -1 \\ t & -1 & t \\ 1 & -s & -1 \end{pmatrix} =2t(t+s)$ である．$t+s=0$および$t=0,s=0$は２直線は平行であるので交わるか平行であることが示された． 続く 目次