いろいろな立体の問題 第6節　線織面(その4) ここでは，今まで扱った一葉双曲面を，線織面の立場から眺めます． ねじれの位置にある２直線の片方を固定し，その直線の周りにもう一方の直線を一回転したとき得られる 曲面は一葉双曲面になります． 通常，一葉双曲面は $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$ と表せます． ここでは一番簡単な $x^2+y^2-z^2=1$・・・�@ の場合を調べます． �@のグラフがどうなっているかを考えましょう．当然平面で切って考えるます． $z$軸に垂直な平面 $z=t$ で切ると，円になり，$t$の絶対値が大きくなると切り口の円の半径はどんどん大きくなっています． 次にx軸に垂直な平面 $x=t \ \ (0\leqq t)$ で切った切り口を考えましょう． 右図は，曲面�@と３平面 $x=0,x=1,x=2$ が書いてあります． $x=1$の場合は２直線で，$t$＜$1$と$t$＞$1$ではともに双曲線であるが，グラフの形が異なることが分かると思います． さて，この曲面�@を直線の軌跡と見るわけですが，それは次のように考えます． $x^2+y^2-z^2=1$ $(x+z)(x-z)=(1+y)(1-y)$ この式を比の形で表し， $(x-z):(1-y)=(1+y):(x+z)=t:1$ したがって， $x-z=t(1-y)$・・・�@ かつ $1+y=t(x+z)$・・・�A ２平面�@，�Aの交線の方程式を求めよう． 平面�@の法線ベクトルは $(1,t,-1)$ 平面�Aの法線ベクトルは $(t,-1,t)$ �@，�Aの交線の方向ベクトルは $(1,t,-1)\times (t,-1,t)=(t^2-1,-2t,-1-t^2)$ より $(-t^2+1,2t,1+t^2)$ �@，�Aで$y=-1$とすると$x=z=0$であるから ２平面�@，�Aの交線の方程式は $\dfrac{x}{t^2+1}=\dfrac{y+1}{2t}=\dfrac{z}{t^2+1}$・・・�B である． すなわち，一葉双曲線$x^2+y^2-z^2=1$は直線�Bが母線である線織面である． 直線�Bはtが動くことにより一葉双曲線$x^2+y^2-z^2=1$のすべてを動くことが分かりました． 続く 目次