いろいろな立体の問題 第6節　線織面(その3) ＜例題の解説(続き)＞ もう少し例題1の解説を続けます． 例題1では，曲面 $x^2+y^2=\dfrac{z^2+1}{2}$ と平面 $z=kx$ との交線の$xy$平面への正射影を求めていますが，平面$z=kx$上の交線を求めましょう． １つの方法は，正射影を利用して求めます． 平面$z=kx$から$xy$平面への正射影は考えやすい． 右図のように$y$軸を共通にとり平面$z=kx$上の点$P(x,y)$の$xy$平面への正射影を$Q(X,Y)$とすると $X=x\cos \theta ,Y=y$ ただし，$\tan \theta=k$ 正射影した図形が $(2-k^2)x^2+2y^2=1$ であるから， $(2-k^2)(x\cos \theta)^2+2y^2=1$ $\therefore \dfrac{(2-k^2)x^2}{1+k^2}+2y^2=1$ もう一つは，平面z=kx上の基本ベクトル（平面上の直交する単位ベクトル）を用いる方法です． $\overrightarrow{u}=\dfrac{1}{\sqrt{1+k^2}}(1,0,k)$,$\overrightarrow{v}=(0,1,0)$ を用います． 平面$z=kx$上の点は $x\overrightarrow{u}+y\overrightarrow{v}$ $=(\dfrac{x}{\sqrt{1+k^2}},y,\dfrac{kx}{\sqrt{1+k^2}})$ この式を曲面の式 $x^2+y^2=\dfrac{z^2+1}{2}$ に代入し $2(\dfrac{x^2}{1+k^2}+y^2)=\dfrac{k^2x^2}{1+k^2}+1$ $\therefore \dfrac{(2-k^2)x^2}{1+k^2}+2y^2=1$ 続く 目次