いろいろな立体の問題

第5節　円柱と円錐(その5)

(このページは前ページに続き2013年12月に追加したものです)
例題8
\(xyz\)空間内に\(O(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0)\)を頂点とする三角形\(OAB\) を\(x\)軸に周りに１回転させてできる円錐を\(V\)とする．円錐\(V\)を\(y\)軸に周りに１回転させてできる立体の体積をもとめよ．
大阪大（2013年）

解答
まず，円錐の側面の方程式を求めましょう．
すでに述べた方法によると，
\(\overrightarrow{e}=(1,0,0)\)
とすると，円錐の側面上の点\(P(x,y,z)\)は
\(\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{e}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\cos \dfrac{\pi}{4}\)
より，両辺を平方して
\(x^2=y^2+z^2 \ \ (0\leqq x\leqq 1)\)
となりますが，もっと広く用いられている，座標軸に垂直な平面で切った切り口の図形を利用して曲面の式を求めましょう．
円錐の側面を平面
\(x=t (0\leqq x \leqq 1)\)
で切ると，切り口の図形は，原点を中心とする半径\(t\)の円です．したがって，円錐の側面の 方程式は
\(x=t,y^2+z^2=t^2\cdots (\sharp)\)
です．もちろん\((\sharp)\)でいいのですが，媒介変数\(t\)を消去して
\(y^2+z^2=x^2 \ \ (0\leqq x \leqq 1)\)
となります．
逆に，空間における\(x,y,z\)の方程式が与えら得たとき，その曲面がどのような図形かを知るには，座標軸に垂直な平面で切った 切り口の図形を利用します．
たとえば，ここで扱う円錐なら，\(x=t\)で切れば
\(y^2+z^2=t^2\)
より原点を中心とする半径\(t\)の円で，切り口の円が\(t\)が増えるにつれて大きくなる図形だとだいたいの形が分かります．

解答に戻りましょう．円錐の式が分かれば難しくありません．
円錐\(V\)の側面の方程式は \(y^2+z^2=x^2 \ \ (0\leqq x \leqq 1)\)
であるから 円錐\(V\)を平面\(y=t(0\leqq t \leqq 1)\)で切った切り口は
\(t^2+z^2=x^2 ,t\leqq x \leqq 1\)
グラフは右下図になります．図において\(P\)の座標は
\(P(1,\sqrt{1-t^2})\)
求める回転体の体積は，\(xz\)平面上で，\(O\)を中心とする半径\(OP\)の円から，半径\(OC\)の円を除いた部分を積分すれよい．
\(x\leqq 0\)の部分を考慮して，求める体積は
\(\displaystyle 2\pi\int_0^1(OP^2-OC^2)dt\)
\(\displaystyle =2\pi\int_0^1\{(2-t^2)-t^2\}dt=\dfrac{8\pi}{3}\)

参考
３次元空間における曲面は，座標軸を一つ定め，その座標軸に垂直な平面で切った切り口を利用して曲面の形を調べることを述べました．
この方法で，４次元における立体や曲面（超曲面という）を調べてみましょう．
４次元を考えるとき，第４の軸として時間軸\(t\)をとることが多いので，ここでもそれに従って\(xyzt\)軸で考えます．
1辺の長さ\(1\)の立方体を考えよう．式で表すと
\(0\leqq x,y,z,t \leqq 1\)
です．したがって，\(t=t_0 (0\leqq t_0\leqq 1)\)でこの立体を切ると\(xyz\)空間における１辺の長さ\(1\)の立方体です． すなわち時間が0 から1まで変化するとき単位立方体が現れそれ以外は何も現れない図形です．これをどのように想像するかは皆さん各自で考えることです．
もう一つ半径\(1\)の球\(D^4\)を考えましょう．方程式で表すと
\(x^2+y^2+z^2+t^2\leqq 1\)
です．
\(t=t_0　(0\leqq t_0\leqq 1)\)でこの立体を切ると切り口の図形は\(xyz\)空間における球
\(x^2+y^2+z^2 \leqq 1-t^2\)
となります．
もう一つ3次元球面\(S^3\)は方程式で表すと
\(x^2+y^2+z^2+t^2=1 \)
ですから，\(t=t_0　\ \ (0\leqq t_0\leqq 1)\)でこの立体を切ると切り口の図形は\(xyz\)空間における球面
\(z^2+y^2+z^2=1-t^2\)
となります．これらの４次元における立体を私は想像できませんが，できる人もいるのでしょう． 実際，ロシアの盲目の数学者ポントリャーギンは ４次元空間が想像できる ということを読んだか聞いたか忘れましたが記憶に残っています．皆さんもちょっと考えてみましょう．ひょっとすると皆さんにすごい才能が 隠れているのかもしれません．


続く


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