いろいろな立体の問題 第5節 円柱と円錐(その6) ここでは，円錐を平面で切った切り口の図形について解説します． ちょっと古い問題ですが，まず次の問題を解きましょう． 
例題9直円錐形のグラスに水が満ちている．水面の円の半径は\(1\),深さも\(1\)である． このグラスを右の図のように角度\(\theta\)だけ傾けたとき，できる水面は楕円である． この楕円の長半径\(a\)および 短半径\(b\)を，\(m=\tan \theta\)で表せ．ただし，楕円の長半径，短半径とは，それぞれ 長軸，短軸の長さの\(\frac{1}{2}\)のことである． 東京大・一部略（1986年） 解答 円錐を平面で切った切り口の図形である水面が楕円であると問題文に書かれているので，それは認めて, 楕円の長軸，短軸の長さを求めましょう． 
右図で\(AB=2a,CD=2b\)の長さを求めればよい．\(AB\)は\(yz\)平面で考えるとわかりやすい（右下図）． 正弦定理より \(\dfrac{AB}{\sin \frac{\pi}{4}}=\dfrac{2}{\sin (\frac{3\pi}{4}-\theta)}\) したがって， \(AB=\dfrac{\sqrt{2}}{\sin (\frac{3\pi}{4}-\theta)}\) \(=\dfrac{2}{\sin \theta +\cos \theta}\) \(=\dfrac{2\sqrt{1+\tan ^2\theta}}{1+\tan \theta}\) \(=\dfrac{2\sqrt{1+m^2}}{1+m}\) \(\therefore a=\dfrac{\sqrt{1+m^2}}{1+m}\) 
次に短半径\(b\)を求めよう．円錐を\(AB\)の中点\(M\)を通り円錐の中心軸である\(z\)軸に垂直な平面で切った切り口の円を考える． 右図で \(HM=AM\sin \theta \) \(=\dfrac{\sin \theta}{\sin \theta +\cos \theta}\) \(=\dfrac{\tan \theta}{1+\tan \theta}\) \(=\dfrac{m}{1+m}\) したがって切り口の円の半径\(ME(=FO)\)は \(ME=1-HM=\dfrac{1}{1+m}\) 次に\(MF\)を求める． \(MF=1-AH\) \(=1-\dfrac{\cos \theta}{\cos \theta +\sin \theta}\) \(=\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta +\sin \theta}\) \(=\dfrac{\tan \theta}{1+\tan \theta}\) \(=\dfrac{m}{1+m}\) 
右図で，\(FC=\dfrac{1}{1+m},MF=\dfrac{m}{1+m}\) である．短半径は \(b=MC=\dfrac{\sqrt{1-m^2}}{1+m}\) 解答がわかりづらければ，\(\theta =\frac{\pi}{6}\)や\(\frac{\pi}{12}\)で具体的に長半径，短半径を求めるとよい．多分すっきり理解できると思う． さて，このページの目的はこの問題を解くことではありません．円錐を平面で切ったときにできる切り口の図形が楕円，双曲線，放物線， すなわち２次曲線になることを説明することです． 
例題で求めた楕円の方程式を直接求めてみましょう．切り口の平面\(\alpha\)に座標軸を導入します．座標軸を導入するとは，原点を定めて，さらにその点を通る直交する２直線を定めればよい． 右図で，線分\(AB\)の中点\(M\)が原点，直線\(MC,MA\)をそれぞれ\(u\)軸，\(v\)軸とします． この座標軸の基本ベクトルは \(\overrightarrow{ME}=\dfrac{\overrightarrow{MC}}{|\overrightarrow{MC}|},\) \(\overrightarrow{MF}=\dfrac{\overrightarrow{MA}}{|\overrightarrow{MA}|}\) です． 平面\(\alpha\)上の点\(P(\overrightarrow{p})\)は \(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{OM}+u\overrightarrow{ME}+v\overrightarrow{MF}\) と表せるので，この式が円錐上にあるとして，\(u,v\)の関係式を求めれば切り口の方程式が求まります． 実際にやってみましょう．なお，右図は例題の図と少し異なる．\(yz\)平面で，直線\(BF\)の傾きが \(\tan \theta\)であるようにとった．すなわち，\(zx\)平面に関して対称移動した図を考えている． \(M\)の座標を求めよう． \(yz\)平面で考える．\(A(1,1)\)である． 直線\(BF,OB\)の方程式はそれぞれ \(z-1=\tan \theta (y-1),z=-y\) であるから， \(y=-\dfrac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta},z=\dfrac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}\) したがって，\(M\)の座標は \(M(0,\dfrac{\tan \theta}{1+\tan \theta},\dfrac{1}{1+\tan \theta})\) \(\overrightarrow{ME}=(1,0,0).\overrightarrow{MF}=(0,\cos \theta,\sin \theta)\) であるから，平面\(\alpha\)上の点\(P(\overrightarrow{p})\)は \(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{OM}+u\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}\) \(=(0,\dfrac{\tan \theta}{1+\tan \theta},\dfrac{1}{1+\tan \theta})+u(1,0,0)+v(0,\cos \theta , \sin \theta)\) \(=(u,\dfrac{\tan \theta}{1+\tan \theta}+v\cos \theta , \dfrac{1}{1+\tan \theta}+v\sin \theta)\) 円錐の方程式は \(z^2=x^2+y^2\) であるから， \( \begin{cases} x=u \\ y=\dfrac{\tan \theta}{1+\tan \theta}+v\cos \theta \\ z=\dfrac{1}{1+\tan \theta}+v\sin \theta \end{cases} \) を円錐の方程式に代入し， \((\dfrac{1}{1+\tan \theta}+v\sin \theta )^2=u^2+(\dfrac{\tan \theta}{1+\tan \theta}+v\cos \theta )^2\) \(v\)の１次の項が消えるから， \(u^2+(\cos ^2\theta -\sin ^2\theta)v^2=\dfrac{1-\tan ^2 \theta}{(1+\tan \theta)^2}\) さらに， \(\cos 2\theta =\dfrac{\cos ^2\theta -\sin ^2\theta}{\cos ^2\theta +\sin ^2\theta} =\dfrac{1-\tan ^2\theta}{1+\tan ^2\theta}\) より \(\dfrac{u^2}{1-\tan ^2\theta}+\dfrac{v^2}{1+\tan ^2\theta}=\dfrac{1}{(1+\tan \theta)^2}\) を得る． したがって，長半径\(a\),短半径\(b\)を\(m=\tan \theta\)で表せば \(a=\dfrac{\sqrt{1+m^2}}{1+m},b=\dfrac{\sqrt{1-m^2}}{1+m}\) を得る． ここで計算した内容を見直そう． 平面\(\alpha\)上の点\(P(\overrightarrow{p})\)は原点\(A(\overrightarrow{a})\), 平面上の直交する単位ベクトル\(\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\)をもちいて \(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+u\overrightarrow{b}+v\overrightarrow{c}\) と表せる． \(\overrightarrow{p}\)の成分は\(u,v\)の１次式である． さらに円錐の方程式は \(x,y,z\)の２次式であるあるから，切り口の図形は\(u,v\)の２次式，すなわち２次曲線である． ２次曲線は楕円，双曲線，放物線のいずれかである（もちろん退化する場合，すなわち１次式の積に因数分解でいるときや点になるときもある．これは 平面が円錐の頂点を通るときでこれは考えない）． ３つのどれになるかは簡単で，有界の時は楕円で，有界でないとき，２つに分かれれば双曲線で， １つのときは放物線である． ここでの議論より，円錐だけでない，\(x,y,z\)の２次式で表せる曲面（この曲面を２次曲面という） を平面で切った切り口の図形は，楕円，双曲線，放物線のいずれかであることがわかる． なお，２次曲面にはどのような曲面があるかはたとえば 小林昭七著 曲線と曲面の微分幾何 裳華房 ４４ページ を見るとよいでしょう． 続く 目次 |