いろいろな立体の問題 第3節　正射影を身につけよう(正多面体の辺の正射影２) 残されたのは，正十二面体と正二十面体である． これらの立体の辺の射影の長さの平方の和が一定であることの数学的証明はできていない． そこで，パソコンで確認した． 正十二面体や正二十面体の頂点やそれらを原点の周りに回転した点の座標を求めることは難しくないので， パソコンも用いて各辺の正射影の長さを求めることは決して難しいことではない． ここでは，Texas Instruments の　Cabri 3D で確かめた内容を紹介する． このソフトは長さを求め，計算することができる． まず，正十二面体を考える． 正十二面体は３０本の辺があり，２本ずつ平行であるので，１５本の辺の長さを調べればよい． 図のResult 46.29　は青色の線分の長さの平方の和，Result 16.04 は黄緑色の線分の平方の和，Result 34.74は 黄色の線分の平方の和，Result 97.04 はそれらを加えたもの． 平面は３点Ｐ，Ｑ，Ｒで決まる平面でＰ，Ｑ，Ｒをドラッグすると平面は動く．平面を動かすことにより， Result 97.04 が動かないことが確認できる． 次に，正二十面体を考える． 正二十面体は３０本の辺があり，２本ずつ平行であるので，１５本の辺の長さを調べればよい． 図のResult 52.23　は青色の線分の長さの平方の和，Result 70.22 は黄緑色の線分の平方の和，Result 7.41は 桃色の線分の平方の和，Result 45.69 は黄色の線分の平方の和 Result 97.04 はそれらを加えたものである． 平面は３点Ｐ，Ｑ，Ｒで決まる平面でＰ，Ｑ，Ｒをドラッグすると平面は動く．平面を動かすことにより， Result 97.04 が不変であることが確認できる． なお，よく見ると，黄色の６本の線分の長さの平方の和も不変であることがわかる． 以上の内容で，正十二面体，正二十面体の各辺の正射影の長さの２乗の和が不変であることの証明がなされたということは できないが，正しい事実であることが分かる． これらの正十二面体，正二十面体における数学的に証明は，３次元の幾何学変換，特に回転変換を理解すれば， 簡単に解決できるのかも知れない．現時点で私は分からない． 第4節　正多面体の体積 目次