いろいろな立体の問題 第3節　正射影を身につけよう(立体の正射影３) 例題4 空間内に平面$\alpha$がある．１辺の長さ１の正８面体Ｖの平面$\alpha$上への正射影の面積をＳとし，Ｖが いろいろ位置を変える時のＳの最大値と最小値を求めよ． <解答> Ａを通り，平面$\alpha$に垂直な直線を引き平面ＢＣＤＥとの交点をＰとする． $\bullet \ $Ｐが正方形ＢＣＤＥの内部または周上にあるとき Ｓの最大値は１である． 正方形ＢＣＤＥの中心をＧとすると，Ｓの最小値は $1\cdot \dfrac{AG}{AB}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $\bullet \ $Ｐが正方形ＢＣＤＥの外部にあるとき Ｐは図の緑色の部分，すなわち直線ＢＥ，ＣＤにはさまれた部分を考えればよい． というのは，例えば，Ｑとすれば，それは平面ＢＣＤＥ上の四角形ＱＣＱ’Ｅの正射影を調べることになり， 正方形ＡＣＦＥの正射影を考える問題になるからである． 平面ＢＣＤＥ上でＰを通り，ＢＣと平行な直線を引き，直線ＢＥ，ＣＤとの交点をそれぞれ，Ｓ，Ｒとすれば， ＰがＳやＲの場合の方がＶの正射影の面積Ｓは小さくなり，ＳやＲの場合は，１つの正方形の正射影の場合に帰着されるので， Ｐが緑の部分の内部にあるときＳが最小値をとることはない． 次に，Ｐが緑の部分にあるときのＶの正射影の面積Ｓの最大値を調べる． Ｐが辺ＢＣの垂直二等分線上にあるとき調べればよい． 正方形ＢＣＤＥの中心をＧとし，ＰＧ＝ｘとおく． このとき，Ｖの正射影の面積Ｓの値は $S=($６角形$PCDP'EB$の面積$)\cdot \dfrac{AG}{AP}$ $=\dfrac{x+\dfrac{1}{2}}{\sqrt{2x^2+1}}=f(x)$ とおく． $f'(x)=\dfrac{1-x}{(2x^2+1)\sqrt{2x^2+1}}$ f(x)はｘ＝１で最大値をとり $f(1)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ である．この値は１より小さい． したがって，最大値が１で最小値が$\frac{1}{\sqrt{2}}$であることが証明された． 続く 目次