いろいろな立体の問題 第3節　正射影を身につけよう(立体の正射影２) 次に，立方体，正８面体の正射影を調べよう． 例題3 空間内に平面$\alpha$がある．１辺の長さ１の立方体Ｖの平面$\alpha$上への正射影の面積をＳとし，Ｖが いろいろ位置を変える時のＳの最大値と最小値を求めよ． <解答> 右図のように，正方形ADEB,ABFC,ACGDの正射影を考えればよい．正方形の正射影よる像は平行四辺形である． 実際，４点A,D,E,Bの正射影による像をそれぞれA',D',E',B'とすると， AD‖BE,DD'‖EE' より平面ADD'A'と平面BEE'B'は平行である． Aを通り平面$\alpha$に垂直な直線と３点B,C,Dの決める平面との交点Pは△BCDの内部または周上にある． （もしPが△BCDの内部または周上になければ別の３面を考える） ここで，例えば，正方形ADEBの正射影の像は，平行四辺形であるから，△BPDの正射影の面積の２倍である． したがって，正三角形BCDの正射影の最大値，最小値の２倍が立方体の正射影の面積の最大値，最小値になる． 最大値は，Pが三角形BCDの重心Gのとき（△ＢＣＤと平面$\alpha$が平行なとき）で $S=\sqrt{3}$ 最小値はPがB,C,Dのいずれかの場合であるが，そのときは平面$\alpha$が１つの面に平行なときで$S=1$である． ＜参考＞ 縦，横，高さがａ，ｂ，ｃ（ａ≦ｂ≦ｃ）の直方体の正射影の面積の最大値，最小値についても，考え方は立方体と同じである． 右図で，ＯＡ＝ａ，ＯＢ＝ｂ，ＯＣ＝ｃのときＯから平面ＡＢＣに下した垂線の長さや△ＡＢＣの面積は，平面の方程式やベクトルを用いたほうが簡単である． Ａ（ａ，０，０），Ｂ（０，ｂ，０），Ｃ（０，０，ｃ） とおくと，３点Ａ，Ｂ，Ｃを通る平面の方程式は $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$ したがって，Ｏから平面ＡＢＣに下した垂線の長さｈは $h=\dfrac{abc}{\sqrt{b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2}}$ △ＡＢＣの面積Ｓは $S=\dfrac{abc}{2h}=\dfrac{\sqrt{b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2}}{2}$ (もし，外積の知識があれば， $2S=|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ により，Ｓを求めてもよい．) △ＡＢＣの面積Ｓは,平面ＡＢＣの法線ベクトルの方向余弦を用いた方が話の流れに沿った方法である． 平面ＡＢＣの法線ベクトルと$x$軸，$y$軸，$z$軸となす角をそれぞ$\alpha,\beta.\gamma$すれば，単位法線ベクトルは $(\cos \alpha,\cos \beta,\cos \gamma)$ である．このベクトルを法線ベクトルの方向余弦（下に解説があります）という． △ＯＢＣ，△ＯＣＡ，△ＯＡＢの面積をそれぞれ$S_1,S_2,S_3$とすれば $S^2=S^2(\cos ^2 \alpha +\cos ^2 \beta +\cos ^2 \gamma)$ $=S_1^2+S_2^2+S_3^2$ $=\dfrac{b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2}{4}$ $\therefore S=\dfrac{\sqrt{b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2}}{2}$ したがって，この直方体の正射影の面積の最大値は $\sqrt{b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2}$ 最小値は，ＰがＣと一致するときで，そのとき，平面ＡＢＣと平面$\alpha$のなす角を$\theta$とすると $\cos \theta =\dfrac{h}{c}$ そのとき，直方体の正射影は $ab$ である． ＜方向余弦の解説＞ まず平面で考えます． 座標平面の原点を$O$とし，単位ベクトル$\overrightarrow{a}$に対して $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$ となる点$A$をとり,$A$の座標を$(a_1,a_2)$とする． ここで，$\overrightarrow{a}$と$x$軸の正の向きとなす角を$\alpha$,$y$軸の正の向きとなす角を$\beta$とすると， $\overrightarrow{a}$は単位ベクトルであるから， $a_1=\cos \alpha,a_2=\cos \beta$ となる． すなわち，単位ベクトルは座標軸とのなす角$\alpha,\beta$を用いて， $\overrightarrow{a}=(\cos \alpha,\cos \beta)$・・・�@ と表せます． 一般のベクトルについて，そのベクトルと$x$軸の正の向きとなす角を$\alpha$,$y$軸の正の向きとなす角を$\beta$とすると ベクトル$(\cos \alpha,\cos \beta)$を与えられたベクトルの方向余弦といいます． 方向余弦というと難しそうですが，要するに，与えれたベクトルと同じ向きの単位ベクトルの成分表示の ことです． 方向余弦が用いられるのは，ベクトルと座標軸とのなす角に注目する必要があるときです． 空間図形でも同様です． 座標平面の原点を$O$とし，単位ベクトル$\overrightarrow{a}$に対して $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$ となる点$A$をとり,$A$の座標を$(a_1,a_2,a_3)$とする． $a_1,a_2,a_3$はそれぞれ，点$A$から$x$軸，$y$軸，$z$軸に下した垂線の足の座標であるあるから，$\overrightarrow{OA}$と $x$軸，$y$軸，$z$軸の正の向きとのなす角をそれぞれ$\alpha,\beta,\gamma$とすると $a_1=\cos \alpha,a_2=\cos \beta,a_3=\cos \gamma$ 平面の場合と同じように，ベクトル$\overrightarrow{a}$に対して$\overrightarrow{a}$と $x$軸，$y$軸，$z$軸の正の向きとのなす角をそれぞれ$\alpha,\beta,\gamma$とすると， $\overrightarrow{a}$と同じ向きの単位ベクトルは $(\cos \alpha,\cos \beta,\cos \gamma)$・・・�A となる． このベクトルの成分表示�Aを$\overrightarrow{a}$の方向余弦という． 方向余弦は単位ベクトルであるから $\cos ^2 \alpha+\cos ^2 \beta+\cos ^2 \gamma=1$ が成り立つ． 続く 目次