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いろいろな立体の問題

第3節　正射影を身につけよう(体積における正射影の利用２)

正射影を用いて次の問題を解いてみよう．

例題１
放物線
y=34−x2
をｙ軸の周りに回転して得られる曲面Ｋを，原点を通り回転軸と４５°の角をなす平面Ｈで 切る．曲面Ｋと平面Ｈで囲まれた立体の体積を求めよ．

＜解答＞
曲面Ｋの方程式を求めよう．
y=34−x2
より，ｙ＝ｔのとき
x2=34−t
したがって，半径の２乗が34−t
すなわち,曲面Ｋの方程式は
x2+z2=34−t, y=t
ここでｔを消去し
x2+z2=34−y
を得る．
この式が
y=34−x2
をｙ軸の周りに回転して得られる曲面Ｋの方程式である．
問題の，原点を通りｙ軸と４５°の角をなす平面としてここではｚ＝ｙを用いる．
なお，原点を通りｙ軸と４５°の角をなす平面はたくさんあるが， ｙ軸の周りに回転してみればわかるように，どの平面を用いても囲まれた部分の体積は一致する．


これから，平面ｚ＝ｙに平行な平面で立体Ｋを切りその切り口の面積を求めるのであるが，体積を求めるときは 軸を１つ定め，その軸に垂直な平面で立体を切ることが基本である．
その軸としてｙｚ平面上の原点を通る，ｚ＝ｙに垂直な直線
ｚ＝－ｙ，ｘ＝０
をとる．
この直線上に点Ｐを取る．
ＯＰ＝ｔのとき，

Ｐを通り平面ｚ＝ｙに平行な平面(軸に垂直)は

ここで，曲面
x2+z2=34−y
と平面

よりｚを消去した
　・・・①
は，曲面Ｋと切り口の平面の交線をｘｙ平面に正射影したものである．
①は

であるから円であり，面積は

さらに，切り口の平面とｘｙ平面とのなす角は４５° より，曲面Ｋと平面

との交線の面積は

さらに，切り口である円の半径より

がわかる．
したがって求める体積は，





この問題はｘ軸に垂直な平面で切って考えると，正射影を用いる必要もなく解決します．


＜解答２＞
曲面
x2+z2=34−y・・・①
と平面
ｚ＝ｙ・・・②
で囲まれた部分の体積を求める．
ｘ軸に垂直な平面ｘ＝ｔで曲面①を切ると，切り口は
t2+z2=34−y
したがって，ｘ＝ｔ上で
y=34−t2−z2,  y=z
で囲まれた部分の面積を求め，それを積分すればよい．
yを消去したｚの方程式
z2+z+t2−34=0
の解をα，βとすると
（β－α）2＝（β＋α）2－４αβ ＝１－４（ｔ2－３／４）＝４（１－ｔ2）・・③
したがって，①，②で囲まれた部分の面積をSとすると

③より①と②の交わるｔの範囲は－１≦ｔ≦１であるから
求める体積はt=sinθとおいて置換積分するれば
2∫104(√1−t2)33dt
=83∫π20cos4θdθ
=83⋅34⋅12⋅π2=π2


この節の最後に，正射影を利用して，円錐と平面の交線の式を求めよう．
ここでは円錐を
x2+y2=z2・・・①
平面を
z=ky+1  (k>0)・・・②
として調べる． こで，平面z=ky+1とxy平面のなす角をθとすると
tanθ=k,  ∴
①，②よりｚを消去した式すなわち，円錐①と平面②の交線をxy平面に正射影した式は
x^2+y^2=(ky+1)^2
したがって，
k=1のとき
y=\dfrac{x^2-1}{2}
k \neq 1のとき
x^2+(1-k^2)(y-\dfrac{k}{1-k^2})^2=\dfrac{1}{1-k^2}
この式は正射影した図形の式であるからもとの図形はy軸方向に\frac{1}{\cos \theta}=\sqrt{1+k^2}倍したもの， もとの図形の式を求めるならyを\frac{y}{\sqrt{1+k^2}}で置き換えればよい．
すなわち，
k=1のとき
y=\dfrac{x^2-1}{2}
k \neq 1のとき
x^2+\dfrac{1-k^2}{1+k^2}(y-\dfrac{k\sqrt{1+k^2}}{1-k^2})^2=\dfrac{1}{1-k^2}
である．
式からｋ＞１のとき双曲線，
ｋ＝１のとき放物線，
０＜ｋ＜１のとき楕円であることが分かる．


続く



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