いろいろな立体の問題 第3節 正射影を身につけよう(体積における正射影の利用２) 正射影を用いて次の問題を解いてみよう． 
例題１放物線 $y=\dfrac{3}{4}-x^2$ をｙ軸の周りに回転して得られる曲面Ｋを，原点を通り回転軸と４５°の角をなす平面Ｈで 切る．曲面Ｋと平面Ｈで囲まれた立体の体積を求めよ． ＜解答＞ 曲面Ｋの方程式を求めよう． $y=\dfrac{3}{4}-x^2$ より，ｙ＝ｔのとき $x^2=\dfrac{3}{4}-t$ したがって，半径の２乗が$\dfrac{3}{4}-t$ すなわち,曲面Ｋの方程式は $x^2+z^2=\dfrac{3}{4}-t, \ y=t$ ここでｔを消去し $x^2+z^2=\dfrac{3}{4}-y$ を得る． この式が $y=\dfrac{3}{4}-x^2$ をｙ軸の周りに回転して得られる曲面Ｋの方程式である． 問題の，原点を通りｙ軸と４５°の角をなす平面としてここではｚ＝ｙを用いる． なお，原点を通りｙ軸と４５°の角をなす平面はたくさんあるが， ｙ軸の周りに回転してみればわかるように，どの平面を用いても囲まれた部分の体積は一致する． 
これから，平面ｚ＝ｙに平行な平面で立体Ｋを切りその切り口の面積を求めるのであるが，体積を求めるときは 軸を１つ定め，その軸に垂直な平面で立体を切ることが基本である． その軸としてｙｚ平面上の原点を通る，ｚ＝ｙに垂直な直線 ｚ＝−ｙ，ｘ＝０ をとる． この直線上に点Ｐを取る． ＯＰ＝ｔのとき，  Ｐを通り平面ｚ＝ｙに平行な平面(軸に垂直)は  ここで，曲面 $x^2+z^2=\dfrac{3}{4}-y$ と平面  よりｚを消去した  ・・・@は，曲面Ｋと切り口の平面の交線をｘｙ平面に正射影したものである． @は  であるから円であり，面積は  さらに，切り口の平面とｘｙ平面とのなす角は４５° より，曲面Ｋと平面  との交線の面積は  さらに，切り口である円の半径より  がわかる． したがって求める体積は，  この問題はｘ軸に垂直な平面で切って考えると，正射影を用いる必要もなく解決します． 
＜解答２＞ 曲面 $x^2+z^2=\dfrac{3}{4}-y$・・・@ と平面 ｚ＝ｙ・・・A で囲まれた部分の体積を求める． ｘ軸に垂直な平面ｘ＝ｔで曲面@を切ると，切り口は $t^2+z^2=\dfrac{3}{4}-y$ したがって，ｘ＝ｔ上で $y=\dfrac{3}{4}-t^2-z^2,\ \ y=z$ で囲まれた部分の面積を求め，それを積分すればよい． yを消去したｚの方程式 $z^2+z+t^2-\dfrac{3}{4}=0$ の解をα，βとすると （β−α）2＝（β＋α）2−４αβ ＝１−４（ｔ2−３／４）＝４（１−ｔ2）・・B したがって，@，Aで囲まれた部分の面積をSとすると  Bより@とAの交わるｔの範囲は−１≦ｔ≦１であるから 求める体積は$t=\sin \theta$とおいて置換積分するれば $\displaystyle 2\int_0^1\dfrac{4(\sqrt{1-t^2})^3}{3}dt$ $\displaystyle =\dfrac{8}{3}\int_0^\frac{\pi}{2}\cos ^4 \theta d\theta$ $=\dfrac{8}{3}\cdot \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}$ この節の最後に，正射影を利用して，円錐と平面の交線の式を求めよう． ここでは円錐を $x^2+y^2=z^2$・・・@ 平面を $z=ky+1 \ \ (k$>$0)$・・・A として調べる． こで，平面$z=ky+1$と$xy$平面のなす角を$\theta$とすると $\tan \theta =k, \ \ \therefore \cos \theta =\dfrac{1}{\sqrt{1+k^2}}$ @，Aよりｚを消去した式すなわち，円錐@と平面Aの交線を$xy$平面に正射影した式は $x^2+y^2=(ky+1)^2$ したがって， $k=1$のとき $y=\dfrac{x^2-1}{2}$ $k \neq 1$のとき $x^2+(1-k^2)(y-\dfrac{k}{1-k^2})^2=\dfrac{1}{1-k^2}$ この式は正射影した図形の式であるからもとの図形はy軸方向に$\frac{1}{\cos \theta}=\sqrt{1+k^2}$倍したもの， もとの図形の式を求めるなら$y$を$\frac{y}{\sqrt{1+k^2}}$で置き換えればよい． すなわち， $k=1$のとき $y=\dfrac{x^2-1}{2}$ $k \neq 1$のとき $x^2+\dfrac{1-k^2}{1+k^2}(y-\dfrac{k\sqrt{1+k^2}}{1-k^2})^2=\dfrac{1}{1-k^2}$ である． 式からｋ＞１のとき双曲線， ｋ＝１のとき放物線， ０＜ｋ＜１のとき楕円であることが分かる． 続く 目次 |