いろいろな立体の問題

第2節　立体の回転体の体積(その２)
これから例題を扱います．軸を１つ定め，その軸に垂直な平面で切った切り口を調べることで比較的簡単に解決します．

例題１
ｘｙ平面上の曲線ｙ＝２−２ｘ２とｘ軸とで囲まれた図形をｙ軸の周りに回転して出来る回転体をさらにｘ軸 の周りに回転して出来る回転体の体積を求めよ．
(上智大学)（一部改）

この問題はありがちな標準的問題です．順序だてて考えれば解決します．

＜解答＞
放物線ｙ＝２−２ｘ２上の点Ｐのｙ座標をｔとし，Ｐからｙ軸に下ろした垂線の足をＱとすると，
$PQ^2=\dfrac{2-t}{2}$
より，放物線$y=2-2x^2$をｙ軸の周りに回転して得られる曲面は
$x^2+z^2=\dfrac{2-t}{2}, \ y=t$
ｔを消去し

$x^2+z^2=\dfrac{2-y}{2}$・・・@
を得る(右図)．
曲面@（内部を含む）をｘ軸の周りに回転する.
平面ｘ＝ｔでこの曲面を切ると,@にｘ＝ｔを代入し
$t^2+z^2=\dfrac{2-y}{2} \ \ (-1 \leqq t \leqq 1)$
∴　ｙ＝２−２ｔ２−２ｚ２ (-1≦ｔ≦１)
を得る．

$0\leqq y \leqq 2-2t^2-2z^2$
すなわち，放物線とｘ軸で囲まれた図形を原点の周りに回転するとき，この放物線とｘ軸との交点をＡ，頂点をＢとすれば,
$A(\sqrt{1-t^2},0),B(0,2-2t^2)$
である．
Oを中心とする放物線に接する円を考えれば分かるように，放物線とｘ軸で囲まれた図形をOの周りに回転させたときの図形は， OA,OBの大きいほうを半径とする原点を中心とする円になる．
OA,OBの大小は，
ＯＡ２＝１−ｔ２
ＯＢ２＝（２−２ｔ２）２
ＯＢ２−ＯＡ２
＝（４ｔ２−３）（ｔ２−１）
したがって
$0 \leqq t \leqq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ のとき　$OB \leqq OA$
$\dfrac{\sqrt{3}}{2} \leqq t \leqq 1$ のとき　$OA \leqq OB$
−１≦ｔ≦０の部分は０≦ｔ≦１の部分と対称であるから，求める体積は
$\displaystyle 2\pi \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}}OA^2dt+2\pi \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^1OB^2dt$
$\displaystyle =2\pi \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}}4(1-t^2)^2dt+2\pi \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^1(1-t^2)dt$
$=(\dfrac{17\sqrt{3}}{10}+\dfrac{4}{3})\pi$


例題１は曲線y=2-2x2とx軸で囲まれた部分を考えているので，解きやすいが．もし，
y=2-2x2，y≧０
をy軸の周りに回転し，さらにその回転体をｘ軸の周りに回転した立体を求めるとなると，これは，中が抜けた図形で， 具体的には放物線に接する円の半径を求める必要があり難しくなる．


例題２
ａを正の実数，θを０＜θ＜$\dfrac{\pi}{2} \ $を満たす実数とする．ｘｙｚ空間において，点Ａ（ａ，０，０）と点Ｂ（ａ＋cosθ，０，sinθ） を結ぶ線分をｘ軸の周りに１回転させてできる曲面をＳとする．さらにＳをｙ軸の周りに１回転させてできる立体のの体積をＶとする． Ｖをａとθで表せ．
(2006年東京大・後期)（一部改）


＜解答＞
Ｂ（ａ＋cosθ，０，sinθ）はｘｚ平面上（ｙ＝０）の（ａ，０，０）を中心とする半径１の四分円上にあります． ｘｚ平面上で直線ｘ＝ｔとＡＢ，ｘ軸との交点をそれぞれＰ，Ｑとすれば，
ＰＱ＝（ｔ−ａ）tanθ
したがって，線分ＡＢをｘ軸の周りに回転した曲面は
ｘ＝ｔ，

ｙ２＋ｚ２ ＝ＰＱ２＝（ｔ−ａ）２tan２θ
a≦ｔ≦ａ＋cosθ
ｔを消去すれば
ｙ２＋ｚ２ ＝（ｘ−ａ）２tan２θ
a≦ｘ≦ａ＋cosθ
となる． この曲面をｙ軸の周りに回転するから， 平面ｙ＝ｔでこの曲面を切った切り口の図形をもとめる． ちなみに，曲面は円錐であり，切り口の平面と円錐の頂点との関係より 切り口の図形は双曲線です．

切り口の図形は曲面の方程式に
ｙ＝ｔ (0≦ｔ≦sinθ)
を代入すればよいから
（ｘ−ａ）２tan２θ−ｚ２＝ｔ２
a≦ｘ≦ａ＋cosθ
を得る．

右図で，Ｄ，Ｅの座標は
$D(a+\dfrac{t}{\tan \theta},0),E(a+\cos \theta,\sqrt{\sin ^2 \theta -t^2})$
一番長いところはＣＥで一番短いところはＣＤであるから， 求める体積は

例題２で円（ａ＋cosθ，０，sinθ）を扱ったが，ここで空間における円の処理の仕方を確認しよう．
ｘｙ平面における原点を中心とする半径１の円は
ｘ＝cosθ
ｙ＝sinθ

と媒介変数表示される．
すなわち
（cosθ，sinθ）＝cosθ（１，０）＋sinθ（０，１）
さらに，原点を中心に回転しても円は変わらないから，原点を中心とする単位円は 直交する単位ベクトル$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$を用いて
cosθ$\overrightarrow{u}$＋sinθ$\overrightarrow{v}$
と表せる．
このことを利用して，空間の円を表示するとわかりやすい．

例
３点Ａ（１，０，０），Ｂ（０，１，０），Ｃ（０，０，１）を通る平面上のＡ（１，０，０）を中心とする半径２ の円の媒介変数表示を求めよう．

平面の単位法ベクトルとして
$\overrightarrow{n}=\dfrac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}$
をとり，平面上のベクトルの一つとして， （１，０，０）と（０，１，０）が平面上の点より
$\overrightarrow{u}=\dfrac{(1,-1,0)}{\sqrt{2}}$
をとる．あとは
$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{u}=\dfrac{(1,1,-2)}{\sqrt{6}}$
で$\overrightarrow{v}$を定義すれば，求める円上の点Ｐは
$\overrightarrow{OP}=(1,0,0)+2\cos \theta \overrightarrow{u}+2\sin \theta \overrightarrow{v}$
$=(1+\sqrt{2}\cos \theta +\dfrac{2\sin \theta}{\sqrt{6}},-\sqrt{2}\cos \theta +\dfrac{2\sin \theta}{\sqrt{6}}, -\dfrac{4\sin \theta}{\sqrt{6}})$
である．


続く




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