いろいろな立体の問題 第１節　体積における置換積分を身につけよう(その３) 以上置換積分が必要な体積を求めてきましたが，図形を切るとき，出来るだけ弓形や円の一部の図形が現れない ようにすることは当然で， その方針で問題に接しましょう． ただ，円錐や円柱が関連する立体の体積をもとめるときの切り口は円の一部が出てくる方が 自然で考えやすいという傾向があります． 次の問題で両方の切り方を考えてみましょう． 例題５ xyz空間に５点 Ａ（１，１，０），Ｂ（−１，１，０），Ｃ（−１，−１，０），Ｄ（１，−１，０），Ｐ（０，０，３） をとる． 四角錐ＰＡＢＣＤの ｘ２＋ｙ２≧１ を満たす部分の体積を求めよ． ｘ軸またはｙ軸に垂直な平面で切るか，ｚ軸に垂直な平面で切るかのいずれかを選択することになります． 解答１ 平面ｘ＝ｔで切った切り口を考える． 正四角錐を切った切り口は右図のように台形ＱＲＳＴとなり，Ｑ，Ｔの座標は Ｑ（ｔ，ｔ，３（１−ｔ）），Ｔ（ｔ，１，０） である． したがって，平面ｘ＝ｔをｙｚ平面と考え，台形ＱＲＳＴを表すと右下図のようになる． 一方，円柱を切ったときの切り口は長方形で，ｙ軸との交点は$\pm \sqrt{1-t^2}$. ゆえに，ｔと$\sqrt{1-t^2}$の大小より次の２つに場合わけされる． （�T）０≦ｔ≦$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$のとき（下図） 直線ＱＴの傾きが−３であり$V(0,\sqrt{1-t^2})$であるから， 図で水色の部分の面積Ｓは （�U）$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$≦ｔ≦１のとき（右図） $V(0,\sqrt{1-t^2})$であるから，水色の部分の面積Ｓは したがって，求める体積は−１≦ｔ≦０．０≦ｔ≦１で同じ図形になることを考慮して， 式を見ると計算が面倒そうだが，実際はよく出来た問題で計算してみると， 計算の一番面倒な$\sqrt{1-t^2}$の積分が$\int_0^1\sqrt{1-t^2}dt$とまとめられるので比較的簡単です． 解答２ ｚ軸に垂直な平面ｚ＝ｔで正四角錐ＰＡＢＣＤを切ると切り口は正方形であり， その図形を正方形ＱＲＳＴとする． この正方形は１辺の長さ $\dfrac{2(3-t)}{3}$ であり，単位円の外にはみ出ている部分の体積を求めればよい． を解くことにより,考えるべきｔの範囲は を得る． 右図で$A(\dfrac{3-t}{3},\dfrac{3-t}{3}),C(\dfrac{3-t}{3},0)$である． ∠COB=θとおけば $\dfrac{3-t}{3}=\cos \theta$ 右図の緑の部分の面積Ｓは $S=4\{(\dfrac{3-t}{3})^2-\sin \theta \cos \theta -\dfrac{\dfrac{\pi}{2}-2\theta}{2}\}$ 求める体積は $\displaystyle \int_0^{3-\frac{3}{\sqrt{2}}}4\{(\dfrac{3-t}{3})^2-\sin \theta \cos \theta -\dfrac{\dfrac{\pi}{2}-2\theta}{2}\}dt$ で得られる． $t=3-3\cos \theta$より $\displaystyle \int_0^{3-\frac{3}{\sqrt{2}}}\sin \theta \cos \theta dt$ $\displaystyle =3\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin ^2 \theta \cos \theta d\theta=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$ $\displaystyle \int_0^{3-\frac{3}{\sqrt{2}}}\theta dt=3\int_0^{\frac{\pi}{4}}\theta \sin \theta d\theta=\dfrac{-3\pi +12}{4\sqrt{2}}$ 以上計算すれば，求める体積は $4+4\sqrt{2}-3\pi$ となる． 次に，例題５の問題で，円柱面のうち，正四角錐の内部の部分の面積を求めよう． まず，P(0,0,3),A(1,1,0),D(1,-1,0)を通る平面の方程式を求めよう． 平面上の点を$X(x,y,z)$と置くと,媒介変数s,tを用いて $\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+s\overrightarrow{PA}+t\overrightarrow{PD}$ より $(x,y,z)$ $=(0,0,3)+s(1,1,-3)+t(1,-1,-3)$ $=(s+t,s-t,3-3s-3t)$・・・�@ �@よりs,tを消去して， $3x+z=3$ を得る． $\triangle PDA$と円柱$x^2+y^2=1$の交線上の点をQとし，Qからｘｙ平面におろした垂線の足をRとする． $R(\cos \theta,\sin \theta)$とおくと，平面ＰＤＡの方程式は $3x+z=3$ であるから,Ｑのｚ座標は $z=3-3\cos \theta$ 円柱を，図のＥＦ（x=1,y=0）をｙ軸として長方形に展開すると， $x=($弧$ER)=\theta$, $y=3-3\cos \theta$ $\therefore y=3-3\cos x$ また，点Ｑが辺ＡＰ上にあるのは $x=\theta =\dfrac{\pi}{4}$ 対称性より，求める面積は $\displaystyle 8\int_0^{\frac{\pi}{4}}(3-3\cos x) dx$ $=6\pi -12\sqrt{2}$ この問題から分かるように，円柱はz軸に垂直な平面できると切り口は円であるが，ｘ軸やy軸に垂直な平面できると， 長方形である． 円柱に関係する体積の問題は，ｘ軸やy軸に垂直な平面による切り口の面積を考える解法が置換積分を必要としない，直接 計算できるのでお勧めであるが，多くはｚ軸に垂直は平面で切った切り口のほうが考えやすく 置換積分の知識さえあれば解きやすい． 続く 目次