いろいろな立体の問題 第１節　体積における置換積分を身につけよう(その１) ここでは，積分を用いていろいろな体積を求めます． まず，積分における置換積分を解説します．これは，求める立体の切り口の図形が 弓形であるときどうしても避けては通れない方法です．次の例題で確認しましょう． 例題１ 底面の半径１，高さも１の直円柱がある．この円柱の底面の直径を含み底面と４５°の角をなす平面で，直円柱を２つの部分に分けるとき 小さい方の立体の体積を求めよ． これは有名な問題で，多くの問題集で扱われています． 体積の問題では，軸をどの直線にするかが大切です． この問題では，軸を$x$軸か$y$軸にするのが一般的ですが，ここでは軸を$z$軸として，すなわち$z$軸に垂直な平面でこの立体を切ったときの切り口の面積を積分することにより与えられた立体の体積を求めます． ＜解答＞ 平面$z=t$でこの立体を切ったときの切り口の図形を求めましょう． 切り口は弓形（円弧と弦ではさまれた図形）となります（右下図）． すなわち，弓形ＡＢが切り口の図形です． $PD=t$であり， $\angle BPD=\theta$ とおくと円の半径は１より $\cos \theta =t$　　・・・�@ となります． �@が$t$と$\theta$の関係を表す大事な関係式です． 弓形$AB$の面積を$S$とすると，$S$を$\theta$で表すのは簡単です． 扇形$PAB$から$\triangle PAB$を引いて $S=\theta -\sin \theta \cos \theta$ となります．もちろん $S=\theta -t\sqrt{1-t^2}$ でもかまいません． 平面$z=t$で切った切り口の面積が$S$ですから $S$を$t$で微分するのですが，$t=\cos \theta$より$\theta$が$t$で表せる，すなわち$y=\cos \theta$の逆関数を学んでいれば全く問題ないのですかそうはいきません．ここでは置換積分により$\theta$で積分して求めます． $S$を０から１まで$t$で積分すれば求める体積が出ます． $\displaystyle \int_0^1(\theta -\sin \theta \cos \theta)dt$ ここで$t=\cos \theta $より $dt=-\sin\theta d\theta$ $t:0 \to 1$のとき$\theta :\frac{\pi}{2}\to 0$ であるから $=\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^0(\theta -\sin \theta \cos \theta )(-\sin \theta)d\theta$ $=\dfrac{2}{3}$ ここで小休止し，次のことを考えてみましょう． 円柱の側面は，切り開くと長方形になります．例題１で円柱を平面で切りましたが，この切り口の図形は，円柱の側面を 切り開いた長方形で考えるとどのような曲線になるでしょう． これは，円柱の側面を切り開いた長方形で調べれば分かります． 半径$r$の円柱を線分$AB$で切って，切り開き長方形にします． 右図の$A$が原点，$AB$を$y$軸にとれば，円柱上の点を$P$,$P$から$xy$平面に下ろした垂線の足を$Q$, さらに$\angle QOA=\theta$とすると $Q(r\cos \theta,r\sin \theta ,0)$ であり $P(r\cosθ，r\sinθ,r\sin \theta)$ である．ちなみに，$P$の$z$座標は例題1の立体を$x$軸に垂直な平面で切った時の切り口が直角二等辺三角形よりわかる． もし円柱を切る平面と底面とのなす角が$\alpha$なら$z$座標は$r\sin \theta \tan \alpha$. 切り開いた長方形では弧$AQ$の長さが$x$座標で，$z$が$y$座標だから $x=r\theta,y=r\sin \theta$ と媒介変数表示されます． $\theta$を消去すれば $y=r\sin \dfrac{x}{r}$ となる．この式では少しわかりづらいが(媒介変数表示の方が分かり易い)$y=\sin x$のグラフを原点を中心に$r$倍相似拡大したものです．それは，円柱の底面の半径が$r$倍になれば側面も$r$倍に相似拡大されるので納得できるでしょう． グラフの平行移動はしばしば考えますが，ここでは，相似拡大の練習をしておきましょう． 例 $y=x^2$を原点の周りに$a$倍相似拡大した図形の方程式を求めよう． 原点の周りの$a$倍相似拡大とは $(x,y)\mapsto (ax,ay)$ で定まる平面上の変換である． 求めるグラフ上の点を$(x,y)$とすると $\left(\dfrac{x}{a},\dfrac{y}{a}\right)$ が$y=x^2$上にあるから，求める式は $\dfrac{y}{a}=(\dfrac{x}{a})^2\hspace{2cm}\therefore y=\dfrac{x^2}{a}$ $a$は$0$以外の任意の数ですから,これは任意の放物線は互いに相似であることを意味しています． 右図で $OA:OB=OC:OD$ が成り立つ． 実際，放物線$y=ax^2,y=bx^2$と直線$y=kx$との交点の原点でない方の$x$座標はそれぞれ $\dfrac{k}{a},\dfrac{k}{b}$ で， $\dfrac{k}{a}:\dfrac{k}{b}=b:a$ は$k$に関係しない． さて，話を戻しましょう．例題１の立体の表面積を求めます． 側面積は$y=\sin \theta $と$\theta$軸ではさまれた部分の面積で， $\displaystyle \int_0^{\pi}\sin \theta d\theta=2$ さらに，底面は半径１の半円で，平面$z=y$上の側面は楕円になっています． 側面が楕円になっていることを確認しましょう． 平面$z=y$上の点は，この平面上の，直交する単位ベクトル，例えば $(1,0,0),(0,\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}})$ をもちいて， $t(1,0,0)+s(0,\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}})$ $=(t,\dfrac{s}{\sqrt{2}},\dfrac{s}{\sqrt{2}})$ と表せる．したがって，平面$z=y$と円柱$x^2+y^2=1$の交線は $t^2+(\dfrac{s}{\sqrt{2}})^2=1$ $\therefore t^2+\dfrac{s^2}{2}=1$ このように，切り口の曲線は平面$z=y$上では楕円になります． 求める立体の表面積は底面の半円を加えて $2+\dfrac{\sqrt{2}\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}=2+\dfrac{(1+\sqrt{2})\pi}{2}$ となります． 大学入試問題で問われる，側面積や表面積は展開図で考えることになります． 置換積分の方法が分かったでしょうか．次の問題もよく見かける問題です．$z$軸に垂直な平面で切った面積を考える ことで解いて見ましょう． 類題 底面の半径$1$,高さ$1$の直円柱がある．底面の直径$AB$上に点$M$を$AM=\frac{1}{2}$となるように選び，底面の周上に ２点$C,D$を線分$CD$が$M$を通り，かつ$CD\perp AB$となるように選ぶ．さらにこの円柱上に点$E$を$BE=1$かつ$BE\perp BA$ となるように選ぶ．３点$C,D,E$を通る平面$\alpha$でこの直円柱を切るとき，平面$\alpha$の下側にある部分を$V$とする． このとき$V$の体積と側面積を求めよう． 解答 もちろん実際に解く時は$x$軸または$y$軸に垂直な平面で切って考えるでしょうか，ここでは$z$軸に垂直な平面でこの立体を切って 体積を求めます． $P(0,0,t)$とおき，$P$を通り$z$軸に垂直な平面で切った切り口である弓形を考えます． 上図の点$H$の$y$座標は $AK:KH=MB:BE$ より $y=\dfrac{3t-1}{2}, \ \ \therefore H(0,\dfrac{3t-1}{2},t)$ 次に弓形$QR$の面積$S(t)$を$\angle QPH=\theta$を用いて表すと， $S(t)=\theta -\sin \theta \cos \theta　\cdots (\sharp)$ さらに，$t$と$\theta$の関係は $\cos \theta =\dfrac{3t-1}{2} \ \ (0\leqq t\leqq 1)$ $\dfrac{dt}{d\theta}=-\dfrac{2}{3}\sin\theta$ より求める体積は $\displaystyle \int_0^1S(t)dt=\int_{\frac{2\pi}{3}}^0(\theta -\sin \theta \cos \theta)\cdot (-\dfrac{2}{3}\sin \theta )d\theta$ $=\dfrac{2\pi}{9}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ ここで$\theta$が鈍角になると弓形の面積が変ると思うかも知れないが，解答の中の$(\sharp)$は変える必要がない． 実際の$\theta$が鈍角のとき弓形の面積は $\theta +\sin (\pi -\theta)\cos (\pi -\theta)=\theta -\sin \theta \cos \theta$ である． この立体の体積を求めるとき，通常は$y$軸または$x$軸に垂直は平面で切って考えるがそのときの計算は次のようになる． $y$軸に垂直な平面で切ったとき $\displaystyle \int_{-\frac{1}{2}}^12\sqrt{1-t^2}\cdot \dfrac{2t+1}{3}dt$ $x$軸に垂直な平面で切ったとき $\displaystyle 2\left(\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}+\sqrt{1-t^2}\right)^2dt+ \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^1\dfrac{2\sqrt{1-t^2}}{3}dt\right)$ 次に側面の面積を求めましょう．円柱の側面を展開した長方形上で考えます． $O'(1,0,0)$を新しく原点する．$\angle O'OP=\theta$とし $X=$(弧$O'P$)，$Y=PQ$(図参照) とする． $P(\cos \theta,\sin \theta,0)$であるから， $X=\theta ,Y=\dfrac{2(\sin \theta+\frac{1}{2})}{3}$ ただし，$-\dfrac{\pi}{6}\leqq \theta \leqq \dfrac{7\pi}{6}$ $\therefore 0\leqq Y\leqq \dfrac{2(\sin X+\frac{1}{2})}{3}, \ \ \ (-\dfrac{\pi}{6}\leqq X \leqq \dfrac{7\pi}{6})$ 求める側面積は $\displaystyle \dfrac{2}{3}\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{7\pi}{6}}(\sin X+\dfrac{1}{2})dX$ $=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+\dfrac{4\pi}{9}$ もう１題，基本問題で置換積分の練習をしましょう． 例題２ 立体Ａ，Ｂをそれぞれ半径の１の直円柱とする．Ａ，Ｂの中心軸が直交するとき， ２つの円柱の共通部分の体積を求めよ． この問題は，２つの円柱の中心軸をそれぞれｘ軸，ｙ軸とし，ｚ軸に垂直な平面ｚ＝ｔで切った切り口で考えるのが一般的です． どのような切り口になるかが分かりづらければ，円柱の丸太をカンナで削ったと考えてください． それぞれの丸太のカンナくずは長方形になります．円柱をカンナで削った面を考えたほうが分かりやすいかもしれません．（ちなみに，カンナくず を加えることにより体積を求めるのが積分です） したがって，２つの長方形の共通部分ですから，共通部分の切り口は 正方形となります． この方法による解答は他の参考書をご覧下さい． ここでは，２つの円柱の中心軸をそれぞれｘ軸，ｚ軸としてｚ軸に垂直な平面ｚ＝ｔで切った切り口を考えることにより，体積を 求めます． ＜解答＞ 平面ｚ＝ｔ（−１≦ｔ≦１）で切った切り口の図形を考えます． 右図の緑の円柱は半径１の円柱ですから，ｚ＝ｔで切った切り口は原点を中心とする半径１の円です． 青色の円柱はをｚ＝ｔで切ったときの切り口はｘ軸の正の方から見ると，幅$AB=2\sqrt{1-t^2}$の長方形となります． したがって，平面ｚ＝ｔで切った切り口の図形は， 右下図の青色の部分です． この面積を−１から１までｔで積分すれば，求める体積が出ます． 次に青色の部分の面積を求めましょう． 右下図のＯＡとｘ軸とのなす角をθとすれば ｔ＝cosθ です．ゆえに (青色の面積) $=4(\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\sin \theta \cos \theta}{2})$ $=2\theta +2\sin \theta \cos \theta$ となります．もちろん (青色の面積)$=2\theta +2t\sqrt{1-t^2}$ でもかまいません． これを０から１まで積分し２倍すれば求める体積が出ます． $\displaystyle 2\int_0^1(2\theta +2\cos \theta \sin \theta)dt$ $\displaystyle =4\int_{\frac{\pi}{2}}^0(\theta +\cos \theta \sin \theta)(-\sin \theta)d\theta$ $\displaystyle =4\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\theta \sin \theta+\sin ^2\theta \cos \theta)d\theta$ $=\dfrac{16}{3}$ 次に例題１と例題２の関係を調べましょう． まず，２つの円柱面 $x^2+z^2=1$,・・・�@ $y^2+z^2=1$・・・�A の交線を調べよう． �@−�Aより $x^2=y^2$ したがって， $x^2+z^2=1,y^2+z^2=1$ $\Longleftrightarrow$ $x^2+z^2=1,y=\pm x$ すなわち，２つの円柱面の交線は円柱と平面の交線となります．． ２つの円柱面Ａ，Ｂの共通部分は円柱面Ａのうち円柱面Ｂの内部にある部分と円柱面Ｂのうち 円柱面Ａの内部にある部分です． ここでは，円柱面Ａのうち，円柱面Ｂの内部にある部分を考えます． 右図の平面$\alpha ,\beta$は２つの円柱の交線を含む平面です． 円柱面ＡのうちＢの内部はＡのうち２平面$\alpha ,\beta$にはさまれた部分で， その図が右下の図です．図には，$zx$平面を加えました． 図から，ＡのうちＢの内部にある部分は裏にもあるので例題１の立体が４つあることになり，ＢのうちＡの 内部も考え，例題２の立体の体積は例題１の立体の体積の８倍であるあることが分かります． 例題２の立体の表面積は右図を見れば分かりやすいと思います． 例題１で求めた側面８個よりなるので，表面積は $\displaystyle 8\int_0^{\pi}\sin \theta d\theta=16$ となります. 続く 目次