いろいろな立体の問題

第1節 体積における置換積分を身につけよう(その1)
ここでは,積分を用いていろいろな体積を求めます.
まず,積分における置換積分を解説します.置換積分はちょっと複雑な体積を求めるとき,いいかたを変えれば,切り口の図形が 弓形を含むときどうしても避けては通れないアイテムです.次の例題で確認しましょう.

例題1
底面の半径1,高さも1の直円柱がある.この円柱の底面の直径を含み底面と45°の角をなす平面で,直円柱を2つの部分に分けるとき 小さい方の立体の体積を求めよ.


これは有名な問題で,多くの問題集で扱われています.
体積の問題では,軸をどの直線にするかが大切です. この問題では,軸をx軸かy軸にするのが一般的ですが,ここでは軸をz軸として,すなわちz軸に垂直な平面でこの立体を切ったときの 切り口の面積を積分することにより与えられた立体の体積を求めます.

<解答>
平面z=tでこの立体を切ったときの切り口の図形を求めましょう.
切り口は弓形(円弧と弦ではさまれた図形)となります(右下図).
すなわち,弓形ABが切り口の図形です.
PD=tであり,
∠BPD=θ
とおくと円の半径は1より
cosθ=t  ・・・@
となります.
@がtとθの関係を表す大事な関係式です.
弓形ABの面積をSとすると,Sをθで表すのは簡単です.
扇形PABから△PABを引いて

S=θ−sinθcosθ
となります.もちろん


でもかまいません.
平面z=tで切った切り口の面積がSですから Sを0から1までtで積分すれば求める体積が出ます.




ここで小休止し,次のことを考えてみましょう.
円柱はの側面は,切り開くと長方形になります.例題1で円柱を平面で切りましたが,この切り口の図形は,円柱の側面を 切り開いた長方形で考えるとどのような曲線になるでしょう.
これは,円柱の側面を切り開いて長方形にするという操作をきちんと調べれば簡単に分かります.
半径$r$の円柱を線分$AB$で切って,切り開き長方形にします.
右図の$A$が原点,$AB$を$y$軸にとれば,円柱上の点
$P(rcosθ,rsinθ,z)$
は弧$AQ$の長さが$x$座標で,$z$が$y$座標ですから,切り開いた長方形上で
$x=r\theta,y=z$
と媒介変数表示されます.
例題1の図形では,円柱は半径1で切り取る平面は$z=y$を考えれば
$x=\theta,y=\sin \theta$
したがって,$y=\sin x$となります.

この内容が分かれば,例題1の立体の表面積が計算できます.
側面積は$y=\sin \theta $と$\theta$軸ではさまれた部分の面積で,
$\displaystyle \int_0^{\pi}\sin \theta d\theta=2$
さらに,底面は半径1の半円で,平面$z=y$上の側面は楕円になっています.
実際,平面$z=y$上の点は,この平面上の,直交する単位ベクトル,例えば
$(1,0,0),(0,\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}})$
をもちいて,
$t(1,0,0)+s(0,\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}})$
$=(t,\dfrac{s}{\sqrt{2}},\dfrac{s}{\sqrt{2}})$
と表せる.平面$z=y$と円柱$^2+y^2=1$の交線は
$t^2+(\dfrac{s}{\sqrt{2}})^2=1$
$\therefore t^2+\dfrac{s^2}{2}=1$
このように,切り口の曲線は平面$z=y$上では楕円になります.
求める立体の表面積は$2+\dfrac{(1+\sqrt{2})\pi}{2}$となります.

大学入試問題で問われる,側面積や表面積は展開図で考えることになります.

置換積分の方法が分かったでしょうか.次の問題もよく見かける問題です.$z$軸に垂直な平面で切った面積を考える ことで解いて見ましょう.

類題
底面の半径$1$,高さ$1$の直円柱がある.底面の直径$AB$上に点$M$を$AM=\frac{1}{2}$となるように選び,底面の周上に 2点$C,D$を線分$CD$が$M$を通り,かつ$CD\perp AB$となるように選ぶ.さらにこの円柱上に点$E$を$BE=1$かつ$BE\perp BA$ となるように選ぶ.3点$C,D,E$を通る平面$\alpha$でこの直円柱を切るとき,平面$\alpha$の下側にある部分を$V$とする. このとき$V$の体積と側面積を求めよう.

解答
もちろん実際に解く時は$x$軸または$y$軸に垂直な平面で切って考えるでしょうか,ここでは$z$軸に垂直な平面でこの立体を切って 体積を求めます.
$P(0,0,t)$とおき,$P$を通り$z$軸に垂直な平面で切った切り口である弓形を考えます.
上図の点$H$の$y$座標は
$AK:KH=MB:BE$
より
$y=\dfrac{3t-1}{2}, \ \ \therefore H(0,\dfrac{3t-1}{2},t)$
次に弓形$QR$の面積$S(t)$を$\angle QPH=\theta$を用いて表すと,
$S(t)=\theta -\sin \theta \cos \theta \cdots (\sharp)$
さらに,$t$と$\theta$の関係は
$\cos \theta =\dfrac{3t-1}{2} \ \ (0\leqq t\leqq 1)$
$\dfrac{dt}{d\theta}=-\dfrac{2}{3}\sin\theta$
より求める体積は
$\displaystyle \int_0^1S(t)dt=\int_{\frac{2\pi}{3}}^0(\theta -\sin \theta \cos \theta)\cdot (-\dfrac{2}{3}\sin \theta )d\theta$
$=\dfrac{2\pi}{9}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}$

ここで$\theta$が鈍角になると弓形の面積が変ると思うかも知れないが,解答の中の$(\sharp)$は変える必要がない.
実際の$\theta$が鈍角のとき弓形の面積は
$\theta +\sin (\pi -\theta)\cos (\pi -\theta)=\theta -\sin \theta \cos \theta$
である.

この立体の体積を求めるとき,通常は$y$軸または$x$軸に垂直は平面で切って考えるがそのときの計算は次のようになる.
$y$軸に垂直な平面で切ったとき
$\displaystyle \int_{-\frac{1}{2}}^12\sqrt{1-t^2}\cdot \dfrac{2t+1}{3}dt$
$x$軸に垂直な平面で切ったとき
$\displaystyle 2\left(\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}+\sqrt{1-t^2}\right)^2dt+ \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^1\dfrac{2\sqrt{1-t^2}}{3}dt\right)$


次に側面の面積を求めましょう.円柱の側面を展開した長方形上で考えます.
$O'(1,0,0)$を新しく原点する.$\angle O'OP=\theta$とし
$X=$(弧$O'P$),$Y=PQ$(図参照)
とする.
$P(\cos \theta,\sin \theta,0)$であるから,
$X=\theta ,Y=\dfrac{2(\sin \theta+\frac{1}{2})}{3}$
ただし,$-\dfrac{\pi}{6}\leqq \theta \leqq \dfrac{7\pi}{6}$
$\therefore 0\leqq Y\leqq \dfrac{2(\sin X+\frac{1}{2})}{3}, \ \ \ (-\dfrac{\pi}{6}\leqq X \leqq \dfrac{7\pi}{6})$
求める側面積は
$\displaystyle \dfrac{2}{3}\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{7\pi}{6}}(\sin X+\dfrac{1}{2})dX$
$=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+\dfrac{4\pi}{9}$



もう1題,基本問題で置換積分の練習をしましょう.

例題2
立体A,Bをそれぞれ半径の1の直円柱とする.A,Bの中心軸が直交するとき, 2つの円柱の共通部分の体積を求めよ.


この問題は,2つの円柱の中心軸をそれぞれx軸,y軸とし,z軸に垂直な平面z=tで切った切り口で考えるのが一般的です.
どのような切り口になるかが分かりづらければ,円柱の丸太をカンナで削ったと考えてください.
それぞれの丸太のカンナくずは長方形になります.円柱をカンナできずった面を考えたほうが分かりやすいかもしれません.
したがって,2つの長方形の共通部分ですから,共通部分の切り口は 正方形となります.
この方法による解答は他の参考書をご覧下さい.
ここでは,2つの円柱の中心軸をそれぞれx軸,z軸としてz軸に垂直な平面z=tで切った切り口を考えることにより,体積を 求めます.


<解答>
平面z=t(−1≦t≦1)で切った切り口の図形を考えます.
右図の緑の円柱は半径1の円柱ですから,z=tで切った切り口は原点を中心とする半径1の円です.
青色の円柱はをz=tで切ったときの切り口はx軸の正の方から見ると,幅$AB=2\sqrt{1-t^2}$の長方形となります.
したがって,平面z=tで切った切り口の図形は, 右下図の青色の部分です.
この面積を−1から1までtで積分すれば,求める体積が出ます.
次に青色の部分の面積を求めましょう.
右下図のOAとx軸とのなす角をθとすれば
t=cosθ
です.ゆえに

(青色の面積)
$=4(\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\sin \theta \cos \theta}{2})$
$=2\theta +2\sin \theta \cos \theta$
となります.もちろん
(青色の面積)$=2\theta +2t\sqrt{1-t^2}$
でもかまいません.
これを0から1まで積分し2倍すれば求める体積が出ます.
$\displaystyle 2\int_0^1(2\theta +2\cos \theta \sin \theta)dt$
$\displaystyle =4\int_{\frac{\pi}{2}}^0(\theta +\cos \theta \sin \theta)(-\sin \theta)d\theta$ $\displaystyle =4\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\theta \sin \theta+\sin ^2\theta \cos \theta)d\theta$ $=\dfrac{16}{3}$


次に例題1と例題2の関係を調べましょう.
まず,2つの円柱面
$x^2+z^2=1$,・・・@
$y^2+z^2=1$・・・A
の交線を調べよう.
@−Aより
$x^2=y^2$
したがって,
$x^2+z^2=1,y^2+z^2=1$
$\Longleftrightarrow$
$x^2+z^2=1,y=\pm x$
すなわち,2つの円柱面の交線は円柱と平面の交線となります..


2つの円柱面A,Bの共通部分は円柱面Aのうち円柱面Bの内部にある部分と円柱面Bのうち 円柱面Aの内部にある部分です.
ここでは,円柱面Aのうち,円柱面Bの内部にある部分を考えます.
右図の平面$\alpha ,\beta$は2つの円柱の交線を含む平面です.
円柱面AのうちBの内部はAのうち2平面$\alpha ,\beta$にはさまれた部分で, その図が右下の図です.図には,$zx$平面を加えました.
図から,AのうちBの内部にある部分は裏にもあるので例題1の立体が4つあることになり,BのうちAの 内部も考え,例題2の立体の体積は例題1の立体の体積の8倍であるあることが分かります.

例題2の立体の表面積は右図を見れば分かりやすいと思います.
例題1で求めた側面8個よりなるので,表面積は
$\displaystyle 8\int_0^{\pi}\sin \theta d\theta=16$
となります.


続く


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